Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60192 / 59872
↖ ↑ ↗
← S 81.492306°
E150.644531°		 ← 90.36 m → S 81.492306°
E150.650024°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 81.493118°
E150.644531°		 ← 90.35 m →
8 163 m²		 S 81.493118°
E150.650024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918464660644531 y=0.913581848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918464660644531 × 216)
    floor (0.918464660644531 × 65536)
    floor (60192.5)     		tx = 60192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913581848144531 × 216)
    floor (0.913581848144531 × 65536)
    floor (59872.5)     		ty = 59872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60192 / 59872 ti = "16/60192/59872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60192/59872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60192 ÷ 216
    60192 ÷ 65536     		x = 0.91845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59872 ÷ 216
    59872 ÷ 65536     		y = 0.91357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91845703125 × 2 - 1) × π
    0.8369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62924307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.598563454604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62924307} λ = 2.62924307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.598563454604))-π/2
    2×atan(0.0743803522556785)-π/2
    2×0.0742436375893174-π/2
    0.148487275178635-1.57079632675     		φ = -1.42230905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62924307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42230905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.492306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60192 KachelY 59872 2.62924307 -1.42230905 150.644531 -81.492306
    Oben rechts KachelX + 1 60193 KachelY 59872 2.62933894 -1.42230905 150.650024 -81.492306
    Unten links KachelX 60192 KachelY + 1 59873 2.62924307 -1.42232323 150.644531 -81.493118
    Unten rechts KachelX + 1 60193 KachelY + 1 59873 2.62933894 -1.42232323 150.650024 -81.493118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42230905--1.42232323) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42230905--1.42232323) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62924307-2.62933894) × cos(-1.42230905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147942225107967 × 6371000     		do = 90.3613017625314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62924307-2.62933894) × cos(-1.42232323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147928201129742 × 6371000     		du = 90.3527360881449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42230905)-sin(-1.42232323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147942225107967-0.147928201129742)×R²
    abs(2.62933894-2.62924307)×1.40239782248364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40239782248364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40239782248364e-05×40589641000000     		ar = 8162.92356801651m²