Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60191 / 29951
↖ ↑ ↗
← N 69.412208°
W 14.680481°		 ← 107.40 m → N 69.412208°
W 14.677734°		 →
↑
107.35 m
↓
↑
107.35 m
↓
N 69.411243°
W 14.680481°		 ← 107.41 m →
11 530 m²		 N 69.411243°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459224700927734 y=0.228511810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459224700927734 × 217)
    floor (0.459224700927734 × 131072)
    floor (60191.5)     		tx = 60191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228511810302734 × 217)
    floor (0.228511810302734 × 131072)
    floor (29951.5)     		ty = 29951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60191 / 29951 ti = "17/60191/29951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60191/29951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60191 ÷ 217
    60191 ÷ 131072     		x = 0.459220886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29951 ÷ 217
    29951 ÷ 131072     		y = 0.228507995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459220886230469 × 2 - 1) × π
    -0.0815582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25622273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228507995605469 × 2 - 1) × π
    0.542984008789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.7058345729797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25622273} λ = -0.25622273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7058345729797))-π/2
    2×atan(5.50597889146407)-π/2
    2×1.39113395041066-π/2
    2.78226790082133-1.57079632675     		φ = 1.21147157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25622273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.680481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21147157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.412208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60191 KachelY 29951 -0.25622273 1.21147157 -14.680481 69.412208
    Oben rechts KachelX + 1 60192 KachelY 29951 -0.25617479 1.21147157 -14.677734 69.412208
    Unten links KachelX 60191 KachelY + 1 29952 -0.25622273 1.21145472 -14.680481 69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 60192 KachelY + 1 29952 -0.25617479 1.21145472 -14.677734 69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21147157-1.21145472) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dl = 107.351349999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21147157-1.21145472) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dr = 107.351349999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25622273--0.25617479) × cos(1.21147157) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.351642195041936 × 6371000     		do = 107.400577635961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25622273--0.25617479) × cos(1.21145472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 107.405395365412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21147157)-sin(1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351642195041936-0.351657968858022)×R²
    abs(-0.25617479--0.25622273)×1.57738160858067e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57738160858067e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57738160858067e-05×40589641000000     		ar = 11529.8555951462m²