Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60190 / 85535
↖ ↑ ↗
← S 48.046874°
W 14.683228°		 ← 204.18 m → S 48.046874°
W 14.680481°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
S 48.048710°
W 14.683228°		 ← 204.18 m →
41 692 m²		 S 48.048710°
W 14.680481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459217071533203 y=0.652584075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459217071533203 × 217)
    floor (0.459217071533203 × 131072)
    floor (60190.5)     		tx = 60190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652584075927734 × 217)
    floor (0.652584075927734 × 131072)
    floor (85535.5)     		ty = 85535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60190 / 85535 ti = "17/60190/85535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60190/85535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60190 ÷ 217
    60190 ÷ 131072     		x = 0.459213256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85535 ÷ 217
    85535 ÷ 131072     		y = 0.652580261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459213256835938 × 2 - 1) × π
    -0.081573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25627067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.305160522460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.958690055501503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25627067} λ = -0.25627067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958690055501503))-π/2
    2×atan(0.383394783061503)-π/2
    2×0.366110091647355-π/2
    0.73222018329471-1.57079632675     		φ = -0.83857614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25627067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.683228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83857614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.046874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60190 KachelY 85535 -0.25627067 -0.83857614 -14.683228 -48.046874
    Oben rechts KachelX + 1 60191 KachelY 85535 -0.25622273 -0.83857614 -14.680481 -48.046874
    Unten links KachelX 60190 KachelY + 1 85536 -0.25627067 -0.83860819 -14.683228 -48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 60191 KachelY + 1 85536 -0.25622273 -0.83860819 -14.680481 -48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83857614--0.83860819) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83857614--0.83860819) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25627067--0.25622273) × cos(-0.83857614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668522416436473 × 6371000     		do = 204.183953746564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25627067--0.25622273) × cos(-0.83860819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 204.1766737189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83857614)-sin(-0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668522416436473-0.668498580764785)×R²
    abs(-0.25622273--0.25627067)×2.38356716881771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38356716881771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38356716881771e-05×40589641000000     		ar = 41691.6905636581m²