Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60188 / 39756
↖ ↑ ↗
← N 57.592447°
W 14.688721°		 ← 163.69 m → N 57.592447°
W 14.685974°		 →
↑
163.67 m
↓
↑
163.67 m
↓
N 57.590975°
W 14.688721°		 ← 163.70 m →
26 792 m²		 N 57.590975°
W 14.685974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459201812744141 y=0.303318023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459201812744141 × 217)
    floor (0.459201812744141 × 131072)
    floor (60188.5)     		tx = 60188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303318023681641 × 217)
    floor (0.303318023681641 × 131072)
    floor (39756.5)     		ty = 39756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60188 / 39756 ti = "17/60188/39756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60188/39756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60188 ÷ 217
    60188 ÷ 131072     		x = 0.459197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39756 ÷ 217
    39756 ÷ 131072     		y = 0.303314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.08160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25636654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303314208984375 × 2 - 1) × π
    0.39337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23581327220505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25636654} λ = -0.25636654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23581327220505))-π/2
    2×atan(3.44117599578662)-π/2
    2×1.28798707852185-π/2
    2.5759741570437-1.57079632675     		φ = 1.00517783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25636654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.688721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00517783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.592447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60188 KachelY 39756 -0.25636654 1.00517783 -14.688721 57.592447
    Oben rechts KachelX + 1 60189 KachelY 39756 -0.25631860 1.00517783 -14.685974 57.592447
    Unten links KachelX 60188 KachelY + 1 39757 -0.25636654 1.00515214 -14.688721 57.590975
    Unten rechts KachelX + 1 60189 KachelY + 1 39757 -0.25631860 1.00515214 -14.685974 57.590975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00517783-1.00515214) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dl = 163.670989999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00517783-1.00515214) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dr = 163.670989999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25636654--0.25631860) × cos(1.00517783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.535938088911726 × 6371000     		do = 163.689287399942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25636654--0.25631860) × cos(1.00515214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.535959777704546 × 6371000     		du = 163.695911715539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00517783)-sin(1.00515214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535938088911726-0.535959777704546)×R²
    abs(-0.25631860--0.25636654)×2.16887928200515e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16887928200515e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16887928200515e-05×40589641000000     		ar = 26791.7298267255m²