Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60187 / 59832
↖ ↑ ↗
← S 81.459737°
E150.617065°		 ← 90.71 m → S 81.459737°
E150.622559°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 81.460553°
E150.617065°		 ← 90.71 m →
8 229 m²		 S 81.460553°
E150.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918388366699219 y=0.912971496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918388366699219 × 216)
    floor (0.918388366699219 × 65536)
    floor (60187.5)     		tx = 60187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912971496582031 × 216)
    floor (0.912971496582031 × 65536)
    floor (59832.5)     		ty = 59832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60187 / 59832 ti = "16/60187/59832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60187/59832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60187 ÷ 216
    60187 ÷ 65536     		x = 0.918380737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59832 ÷ 216
    59832 ÷ 65536     		y = 0.9129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918380737304688 × 2 - 1) × π
    0.836761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62876370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5947285026344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62876370} λ = 2.62876370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5947285026344))-π/2
    2×atan(0.0746661449844961)-π/2
    2×0.0745278518712405-π/2
    0.149055703742481-1.57079632675     		φ = -1.42174062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62876370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.617065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42174062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.459737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60187 KachelY 59832 2.62876370 -1.42174062 150.617065 -81.459737
    Oben rechts KachelX + 1 60188 KachelY 59832 2.62885958 -1.42174062 150.622559 -81.459737
    Unten links KachelX 60187 KachelY + 1 59833 2.62876370 -1.42175486 150.617065 -81.460553
    Unten rechts KachelX + 1 60188 KachelY + 1 59833 2.62885958 -1.42175486 150.622559 -81.460553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42174062--1.42175486) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42174062--1.42175486) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62876370-2.62885958) × cos(-1.42174062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148504376175848 × 6371000     		do = 90.7141179734341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62876370-2.62885958) × cos(-1.42175486) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148490294057465 × 6371000     		du = 90.7055158905781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42174062)-sin(-1.42175486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148504376175848-0.148490294057465)×R²
    abs(2.62885958-2.62876370)×1.40821183832462e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40821183832462e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40821183832462e-05×40589641000000     		ar = 8229.47034974254m²