Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60186 / 40555
↖ ↑ ↗
← N 56.397185°
W 14.694214°		 ← 169 m → N 56.397185°
W 14.691468°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.395665°
W 14.694214°		 ← 169 m →
28 565 m²		 N 56.395665°
W 14.691468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459186553955078 y=0.309413909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459186553955078 × 217)
    floor (0.459186553955078 × 131072)
    floor (60186.5)     		tx = 60186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309413909912109 × 217)
    floor (0.309413909912109 × 131072)
    floor (40555.5)     		ty = 40555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60186 / 40555 ti = "17/60186/40555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60186/40555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60186 ÷ 217
    60186 ÷ 131072     		x = 0.459182739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40555 ÷ 217
    40555 ÷ 131072     		y = 0.309410095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459182739257812 × 2 - 1) × π
    -0.081634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25646241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309410095214844 × 2 - 1) × π
    0.381179809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19751168940862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25646241} λ = -0.25646241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19751168940862))-π/2
    2×atan(3.31186571067968)-π/2
    2×1.27755644277646-π/2
    2.55511288555292-1.57079632675     		φ = 0.98431656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25646241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.694214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98431656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.397185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60186 KachelY 40555 -0.25646241 0.98431656 -14.694214 56.397185
    Oben rechts KachelX + 1 60187 KachelY 40555 -0.25641448 0.98431656 -14.691468 56.397185
    Unten links KachelX 60186 KachelY + 1 40556 -0.25646241 0.98429003 -14.694214 56.395665
    Unten rechts KachelX + 1 60187 KachelY + 1 40556 -0.25641448 0.98429003 -14.691468 56.395665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98431656-0.98429003) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98431656-0.98429003) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25646241--0.25641448) × cos(0.98431656) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553432476763106 × 6371000     		do = 168.997264572218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25646241--0.25641448) × cos(0.98429003) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553454573247409 × 6371000     		du = 169.00401199952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98431656)-sin(0.98429003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553432476763106-0.553454573247409)×R²
    abs(-0.25641448--0.25646241)×2.20964843022919e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20964843022919e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20964843022919e-05×40589641000000     		ar = 28564.9323564093m²