Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60186 / 27107
↖ ↑ ↗
← N 71.990030°
W 14.694214°		 ← 94.41 m → N 71.990030°
W 14.691468°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.989181°
W 14.694214°		 ← 94.42 m →
8 914 m²		 N 71.989181°
W 14.691468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459186553955078 y=0.206813812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459186553955078 × 217)
    floor (0.459186553955078 × 131072)
    floor (60186.5)     		tx = 60186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206813812255859 × 217)
    floor (0.206813812255859 × 131072)
    floor (27107.5)     		ty = 27107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60186 / 27107 ti = "17/60186/27107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60186/27107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60186 ÷ 217
    60186 ÷ 131072     		x = 0.459182739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27107 ÷ 217
    27107 ÷ 131072     		y = 0.206809997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459182739257812 × 2 - 1) × π
    -0.081634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25646241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206809997558594 × 2 - 1) × π
    0.586380004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.84216711549914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25646241} λ = -0.25646241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84216711549914))-π/2
    2×atan(6.31019838286782)-π/2
    2×1.41362969502973-π/2
    2.82725939005945-1.57079632675     		φ = 1.25646306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25646241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.694214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25646306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.990030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60186 KachelY 27107 -0.25646241 1.25646306 -14.694214 71.990030
    Oben rechts KachelX + 1 60187 KachelY 27107 -0.25641448 1.25646306 -14.691468 71.990030
    Unten links KachelX 60186 KachelY + 1 27108 -0.25646241 1.25644824 -14.694214 71.989181
    Unten rechts KachelX + 1 60187 KachelY + 1 27108 -0.25641448 1.25644824 -14.691468 71.989181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25646306-1.25644824) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25646306-1.25644824) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25646241--0.25641448) × cos(1.25646306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.30918247489561 × 6371000     		do = 94.4125881744959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25646241--0.25641448) × cos(1.25644824) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.309196568722152 × 6371000     		du = 94.4168918939791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25646306)-sin(1.25644824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30918247489561-0.309196568722152)×R²
    abs(-0.25641448--0.25646241)×1.40938265417168e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.40938265417168e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.40938265417168e-05×40589641000000     		ar = 8914.47169586323m²