Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60185 / 84217
↖ ↑ ↗
← S 45.569832°
W 14.696960°		 ← 213.81 m → S 45.569832°
W 14.694214°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 45.571755°
W 14.696960°		 ← 213.80 m →
45 714 m²		 S 45.571755°
W 14.694214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459178924560547 y=0.642528533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459178924560547 × 217)
    floor (0.459178924560547 × 131072)
    floor (60185.5)     		tx = 60185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642528533935547 × 217)
    floor (0.642528533935547 × 131072)
    floor (84217.5)     		ty = 84217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60185 / 84217 ti = "17/60185/84217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60185/84217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60185 ÷ 217
    60185 ÷ 131072     		x = 0.459175109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84217 ÷ 217
    84217 ÷ 131072     		y = 0.642524719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459175109863281 × 2 - 1) × π
    -0.0816497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25651035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642524719238281 × 2 - 1) × π
    -0.285049438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.895509221802269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25651035} λ = -0.25651035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895509221802269))-π/2
    2×atan(0.40839957971143)-π/2
    2×0.387726356287631-π/2
    0.775452712575262-1.57079632675     		φ = -0.79534361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25651035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.696960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79534361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.569832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60185 KachelY 84217 -0.25651035 -0.79534361 -14.696960 -45.569832
    Oben rechts KachelX + 1 60186 KachelY 84217 -0.25646241 -0.79534361 -14.694214 -45.569832
    Unten links KachelX 60185 KachelY + 1 84218 -0.25651035 -0.79537717 -14.696960 -45.571755
    Unten rechts KachelX + 1 60186 KachelY + 1 84218 -0.25646241 -0.79537717 -14.694214 -45.571755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79534361--0.79537717) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79534361--0.79537717) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25651035--0.25646241) × cos(-0.79534361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.700039434032023 × 6371000     		do = 213.810062168519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25651035--0.25646241) × cos(-0.79537717) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.700015468301273 × 6371000     		du = 213.80274241747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79534361)-sin(-0.79537717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700039434032023-0.700015468301273)×R²
    abs(-0.25646241--0.25651035)×2.39657307505858e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39657307505858e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39657307505858e-05×40589641000000     		ar = 45714.1093714206m²