Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60184 / 84248
↖ ↑ ↗
← S 45.629405°
W 14.699707°		 ← 213.58 m → S 45.629405°
W 14.696960°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.631325°
W 14.699707°		 ← 213.58 m →
45 611 m²		 S 45.631325°
W 14.696960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459171295166016 y=0.642765045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459171295166016 × 217)
    floor (0.459171295166016 × 131072)
    floor (60184.5)     		tx = 60184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642765045166016 × 217)
    floor (0.642765045166016 × 131072)
    floor (84248.5)     		ty = 84248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60184 / 84248 ti = "17/60184/84248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60184/84248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60184 ÷ 217
    60184 ÷ 131072     		x = 0.45916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84248 ÷ 217
    84248 ÷ 131072     		y = 0.64276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.2855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.896995265690491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25655829} λ = -0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896995265690491))-π/2
    2×atan(0.407793130728553)-π/2
    2×0.387206487610934-π/2
    0.774412975221868-1.57079632675     		φ = -0.79638335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79638335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.629405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60184 KachelY 84248 -0.25655829 -0.79638335 -14.699707 -45.629405
    Oben rechts KachelX + 1 60185 KachelY 84248 -0.25651035 -0.79638335 -14.696960 -45.629405
    Unten links KachelX 60184 KachelY + 1 84249 -0.25655829 -0.79641687 -14.699707 -45.631325
    Unten rechts KachelX + 1 60185 KachelY + 1 84249 -0.25651035 -0.79641687 -14.696960 -45.631325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79638335--0.79641687) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79638335--0.79641687) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25655829--0.25651035) × cos(-0.79638335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699296573085723 × 6371000     		do = 213.583173314278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25655829--0.25651035) × cos(-0.79641687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699272611535606 × 6371000     		du = 213.575854840102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79638335)-sin(-0.79641687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699296573085723-0.699272611535606)×R²
    abs(-0.25651035--0.25655829)×2.39615501173018e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39615501173018e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39615501173018e-05×40589641000000     		ar = 45611.1696262189m²