Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60183 / 84249
↖ ↑ ↗
← S 45.631325°
W 14.702453°		 ← 213.53 m → S 45.631325°
W 14.699707°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.633246°
W 14.702453°		 ← 213.52 m →
45 600 m²		 S 45.633246°
W 14.699707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459163665771484 y=0.642772674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459163665771484 × 217)
    floor (0.459163665771484 × 131072)
    floor (60183.5)     		tx = 60183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642772674560547 × 217)
    floor (0.642772674560547 × 131072)
    floor (84249.5)     		ty = 84249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60183 / 84249 ti = "17/60183/84249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60183/84249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60183 ÷ 217
    60183 ÷ 131072     		x = 0.459159851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84249 ÷ 217
    84249 ÷ 131072     		y = 0.642768859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459159851074219 × 2 - 1) × π
    -0.0816802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25660622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642768859863281 × 2 - 1) × π
    -0.285537719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.897043202590111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25660622} λ = -0.25660622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897043202590111))-π/2
    2×atan(0.407773582858715)-π/2
    2×0.38718972684332-π/2
    0.774379453686641-1.57079632675     		φ = -0.79641687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25660622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.702453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79641687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.631325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60183 KachelY 84249 -0.25660622 -0.79641687 -14.702453 -45.631325
    Oben rechts KachelX + 1 60184 KachelY 84249 -0.25655829 -0.79641687 -14.699707 -45.631325
    Unten links KachelX 60183 KachelY + 1 84250 -0.25660622 -0.79645039 -14.702453 -45.633246
    Unten rechts KachelX + 1 60184 KachelY + 1 84250 -0.25655829 -0.79645039 -14.699707 -45.633246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79641687--0.79645039) × R
    3.35199999998981e-05 × 6371000     		dl = 213.555919999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79641687--0.79645039) × R
    3.35199999998981e-05 × 6371000     		dr = 213.555919999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25660622--0.25655829) × cos(-0.79641687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699272611535606 × 6371000     		do = 213.531304181797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25660622--0.25655829) × cos(-0.79645039) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699248649199792 × 6371000     		du = 213.52398699429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79641687)-sin(-0.79645039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699272611535606-0.699248649199792)×R²
    abs(-0.25655829--0.25660622)×2.39623358132546e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39623358132546e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39623358132546e-05×40589641000000     		ar = 45600.0928031754m²