Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60183 / 59848
↖ ↑ ↗
← S 81.472779°
E150.595093°		 ← 90.57 m → S 81.472779°
E150.600586°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 81.473594°
E150.595093°		 ← 90.56 m →
8 205 m²		 S 81.473594°
E150.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918327331542969 y=0.913215637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918327331542969 × 216)
    floor (0.918327331542969 × 65536)
    floor (60183.5)     		tx = 60183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913215637207031 × 216)
    floor (0.913215637207031 × 65536)
    floor (59848.5)     		ty = 59848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60183 / 59848 ti = "16/60183/59848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60183/59848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60183 ÷ 216
    60183 ÷ 65536     		x = 0.918319702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59848 ÷ 216
    59848 ÷ 65536     		y = 0.9132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918319702148438 × 2 - 1) × π
    0.836639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62838021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.826416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59626248342224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62838021} λ = 2.62838021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59626248342224))-π/2
    2×atan(0.0745516963560287)-π/2
    2×0.0744140367935055-π/2
    0.148828073587011-1.57079632675     		φ = -1.42196825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62838021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.595093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42196825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.472779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60183 KachelY 59848 2.62838021 -1.42196825 150.595093 -81.472779
    Oben rechts KachelX + 1 60184 KachelY 59848 2.62847608 -1.42196825 150.600586 -81.472779
    Unten links KachelX 60183 KachelY + 1 59849 2.62838021 -1.42198247 150.595093 -81.473594
    Unten rechts KachelX + 1 60184 KachelY + 1 59849 2.62847608 -1.42198247 150.600586 -81.473594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42196825--1.42198247) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dl = 90.5956200011198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42196825--1.42198247) × R
    1.42200000001758e-05 × 6371000     		dr = 90.5956200011198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62838021-2.62847608) × cos(-1.42196825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14827926634862 × 6371000     		do = 90.5671624303077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62838021-2.62847608) × cos(-1.42198247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148265203528208 × 6371000     		du = 90.558573031588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42196825)-sin(-1.42198247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14827926634862-0.148265203528208)×R²
    abs(2.62847608-2.62838021)×1.40628204125803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40628204125803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40628204125803e-05×40589641000000     		ar = 8204.59915123913m²