Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60182 / 59846
↖ ↑ ↗
← S 81.471150°
E150.589599°		 ← 90.59 m → S 81.471150°
E150.595093°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
S 81.471965°
E150.589599°		 ← 90.59 m →
8 207 m²		 S 81.471965°
E150.595093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918312072753906 y=0.913185119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918312072753906 × 216)
    floor (0.918312072753906 × 65536)
    floor (60182.5)     		tx = 60182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913185119628906 × 216)
    floor (0.913185119628906 × 65536)
    floor (59846.5)     		ty = 59846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60182 / 59846 ti = "16/60182/59846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60182/59846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60182 ÷ 216
    60182 ÷ 65536     		x = 0.918304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59846 ÷ 216
    59846 ÷ 65536     		y = 0.913177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918304443359375 × 2 - 1) × π
    0.83660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62828433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.82635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59607073582376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62828433} λ = 2.62828433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59607073582376))-π/2
    2×atan(0.0745659928353816)-π/2
    2×0.0744282542377824-π/2
    0.148856508475565-1.57079632675     		φ = -1.42193982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62828433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.589599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42193982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.471150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60182 KachelY 59846 2.62828433 -1.42193982 150.589599 -81.471150
    Oben rechts KachelX + 1 60183 KachelY 59846 2.62838021 -1.42193982 150.595093 -81.471150
    Unten links KachelX 60182 KachelY + 1 59847 2.62828433 -1.42195404 150.589599 -81.471965
    Unten rechts KachelX + 1 60183 KachelY + 1 59847 2.62838021 -1.42195404 150.595093 -81.471965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42193982--1.42195404) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dl = 90.5956199997051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42193982--1.42195404) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dr = 90.5956199997051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62828433-2.62838021) × cos(-1.42193982) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148307382010079 × 6371000     		do = 90.5937837957228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62828433-2.62838021) × cos(-1.42195404) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148293319249615 × 6371000     		du = 90.5851935376805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42193982)-sin(-1.42195404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148307382010079-0.148293319249615)×R²
    abs(2.62838021-2.62828433)×1.40627604640065e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40627604640065e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40627604640065e-05×40589641000000     		ar = 8207.01089163969m²