Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60180 / 84220
↖ ↑ ↗
← S 45.575600°
W 14.710693°		 ← 213.74 m → S 45.575600°
W 14.707947°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 45.577523°
W 14.710693°		 ← 213.74 m →
45 700 m²		 S 45.577523°
W 14.707947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459140777587891 y=0.642551422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459140777587891 × 217)
    floor (0.459140777587891 × 131072)
    floor (60180.5)     		tx = 60180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642551422119141 × 217)
    floor (0.642551422119141 × 131072)
    floor (84220.5)     		ty = 84220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60180 / 84220 ti = "17/60180/84220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60180/84220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60180 ÷ 217
    60180 ÷ 131072     		x = 0.459136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84220 ÷ 217
    84220 ÷ 131072     		y = 0.642547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.08172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25675003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.28509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895653032501129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25675003} λ = -0.25675003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895653032501129))-π/2
    2×atan(0.408340851705416)-π/2
    2×0.387676022292403-π/2
    0.775352044584807-1.57079632675     		φ = -0.79544428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25675003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.710693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79544428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.575600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60180 KachelY 84220 -0.25675003 -0.79544428 -14.710693 -45.575600
    Oben rechts KachelX + 1 60181 KachelY 84220 -0.25670210 -0.79544428 -14.707947 -45.575600
    Unten links KachelX 60180 KachelY + 1 84221 -0.25675003 -0.79547784 -14.710693 -45.577523
    Unten rechts KachelX + 1 60181 KachelY + 1 84221 -0.25670210 -0.79547784 -14.707947 -45.577523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79544428--0.79547784) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79544428--0.79547784) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25675003--0.25670210) × cos(-0.79544428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699967541616318 × 6371000     		do = 213.743509442199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25675003--0.25670210) × cos(-0.79547784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699943573520657 × 6371000     		du = 213.736190495853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79544428)-sin(-0.79547784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699967541616318-0.699943573520657)×R²
    abs(-0.25670210--0.25675003)×2.39680956615196e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39680956615196e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39680956615196e-05×40589641000000     		ar = 45699.8797685352m²