Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60180 / 59868
↖ ↑ ↗
← S 81.489055°
E150.578613°		 ← 90.41 m → S 81.489055°
E150.584107°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 81.489867°
E150.578613°		 ← 90.40 m →
8 167 m²		 S 81.489867°
E150.584107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918281555175781 y=0.913520812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918281555175781 × 216)
    floor (0.918281555175781 × 65536)
    floor (60180.5)     		tx = 60180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913520812988281 × 216)
    floor (0.913520812988281 × 65536)
    floor (59868.5)     		ty = 59868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60180 / 59868 ti = "16/60180/59868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60180/59868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60180 ÷ 216
    60180 ÷ 65536     		x = 0.91827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59868 ÷ 216
    59868 ÷ 65536     		y = 0.91351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91827392578125 × 2 - 1) × π
    0.8365478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62809258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.8270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59817995940704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62809258} λ = 2.62809258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59817995940704))-π/2
    2×atan(0.0744088822337218)-π/2
    2×0.0742720105356115-π/2
    0.148544021071223-1.57079632675     		φ = -1.42225231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62809258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.578613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42225231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.489055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60180 KachelY 59868 2.62809258 -1.42225231 150.578613 -81.489055
    Oben rechts KachelX + 1 60181 KachelY 59868 2.62818846 -1.42225231 150.584107 -81.489055
    Unten links KachelX 60180 KachelY + 1 59869 2.62809258 -1.42226649 150.578613 -81.489867
    Unten rechts KachelX + 1 60181 KachelY + 1 59869 2.62818846 -1.42226649 150.584107 -81.489867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42225231--1.42226649) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42225231--1.42226649) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62809258-2.62818846) × cos(-1.42225231) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14799834050312 × 6371000     		do = 90.4050053338154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62809258-2.62818846) × cos(-1.42226649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.147984316643942 × 6371000     		du = 90.3964388386815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42225231)-sin(-1.42226649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14799834050312-0.147984316643942)×R²
    abs(2.62818846-2.62809258)×1.40238591775643e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40238591775643e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40238591775643e-05×40589641000000     		ar = 8166.87174613851m²