Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60177 / 30703
↖ ↑ ↗
← N 68.673542°
W 14.718933°		 ← 111.08 m → N 68.673542°
W 14.716187°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
N 68.672544°
W 14.718933°		 ← 111.08 m →
12 335 m²		 N 68.672544°
W 14.716187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459117889404297 y=0.234249114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459117889404297 × 217)
    floor (0.459117889404297 × 131072)
    floor (60177.5)     		tx = 60177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234249114990234 × 217)
    floor (0.234249114990234 × 131072)
    floor (30703.5)     		ty = 30703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60177 / 30703 ti = "17/60177/30703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60177/30703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60177 ÷ 217
    60177 ÷ 131072     		x = 0.459114074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30703 ÷ 217
    30703 ÷ 131072     		y = 0.234245300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459114074707031 × 2 - 1) × π
    -0.0817718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25689385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234245300292969 × 2 - 1) × π
    0.531509399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.66978602446542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25689385} λ = -0.25689385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66978602446542))-π/2
    2×atan(5.3110312448385)-π/2
    2×1.3846878753852-π/2
    2.76937575077041-1.57079632675     		φ = 1.19857942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25689385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.718933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19857942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.673542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60177 KachelY 30703 -0.25689385 1.19857942 -14.718933 68.673542
    Oben rechts KachelX + 1 60178 KachelY 30703 -0.25684591 1.19857942 -14.716187 68.673542
    Unten links KachelX 60177 KachelY + 1 30704 -0.25689385 1.19856199 -14.718933 68.672544
    Unten rechts KachelX + 1 60178 KachelY + 1 30704 -0.25684591 1.19856199 -14.716187 68.672544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19857942-1.19856199) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19857942-1.19856199) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25689385--0.25684591) × cos(1.19857942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363681424488564 × 6371000     		do = 111.077668198601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25689385--0.25684591) × cos(1.19856199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		du = 111.082627212291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19857942)-sin(1.19856199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363681424488564-0.363697660885963)×R²
    abs(-0.25684591--0.25689385)×1.6236397399394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6236397399394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6236397399394e-05×40589641000000     		ar = 12335.0649548101m²