Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60176 / 84208
↖ ↑ ↗
← S 45.552525°
W 14.721680°		 ← 213.83 m → S 45.552525°
W 14.718933°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
S 45.554449°
W 14.721680°		 ← 213.82 m →
45 732 m²		 S 45.554449°
W 14.718933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459110260009766 y=0.642459869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459110260009766 × 217)
    floor (0.459110260009766 × 131072)
    floor (60176.5)     		tx = 60176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642459869384766 × 217)
    floor (0.642459869384766 × 131072)
    floor (84208.5)     		ty = 84208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60176 / 84208 ti = "17/60176/84208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60176/84208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60176 ÷ 217
    60176 ÷ 131072     		x = 0.4591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84208 ÷ 217
    84208 ÷ 131072     		y = 0.6424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25694178} λ = -0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895077789705689))-π/2
    2×atan(0.408575814412267)-π/2
    2×0.387877389289534-π/2
    0.775754778579069-1.57079632675     		φ = -0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60176 KachelY 84208 -0.25694178 -0.79504155 -14.721680 -45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 60177 KachelY 84208 -0.25689385 -0.79504155 -14.718933 -45.552525
    Unten links KachelX 60176 KachelY + 1 84209 -0.25694178 -0.79507512 -14.721680 -45.554449
    Unten rechts KachelX + 1 60177 KachelY + 1 84209 -0.25689385 -0.79507512 -14.718933 -45.554449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79504155--0.79507512) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79504155--0.79507512) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25694178--0.25689385) × cos(-0.79504155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 213.83132019873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25694178--0.25689385) × cos(-0.79507512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.700231138631229 × 6371000     		du = 213.824001961774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79504155)-sin(-0.79507512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.700231138631229)×R²
    abs(-0.25689385--0.25694178)×2.39657725475961e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39657725475961e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39657725475961e-05×40589641000000     		ar = 45732.2776892842m²