Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60175 / 30704
↖ ↑ ↗
← N 68.672544°
W 14.724426°		 ← 111.08 m → N 68.672544°
W 14.721680°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
N 68.671544°
W 14.724426°		 ← 111.09 m →
12 343 m²		 N 68.671544°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459102630615234 y=0.234256744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459102630615234 × 217)
    floor (0.459102630615234 × 131072)
    floor (60175.5)     		tx = 60175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234256744384766 × 217)
    floor (0.234256744384766 × 131072)
    floor (30704.5)     		ty = 30704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60175 / 30704 ti = "17/60175/30704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60175/30704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60175 ÷ 217
    60175 ÷ 131072     		x = 0.459098815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30704 ÷ 217
    30704 ÷ 131072     		y = 0.2342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459098815917969 × 2 - 1) × π
    -0.0818023681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25698972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25698972} λ = -0.25698972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6697380875658))-π/2
    2×atan(5.31077665656897)-π/2
    2×1.3846791583107-π/2
    2.76935831662139-1.57079632675     		φ = 1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25698972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.724426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60175 KachelY 30704 -0.25698972 1.19856199 -14.724426 68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 60176 KachelY 30704 -0.25694178 1.19856199 -14.721680 68.672544
    Unten links KachelX 60175 KachelY + 1 30705 -0.25698972 1.19854455 -14.724426 68.671544
    Unten rechts KachelX + 1 60176 KachelY + 1 30705 -0.25694178 1.19854455 -14.721680 68.671544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19856199-1.19854455) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dl = 111.110239999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19856199-1.19854455) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dr = 111.110239999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25698972--0.25694178) × cos(1.19856199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 111.082627212291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25698972--0.25694178) × cos(1.19854455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363713906487976 × 6371000     		du = 111.087589037308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19856199)-sin(1.19854455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363713906487976)×R²
    abs(-0.25694178--0.25698972)×1.62456020132984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62456020132984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62456020132984e-05×40589641000000     		ar = 12342.6930243554m²