Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60175 / 30280
↖ ↑ ↗
← N 69.092100°
W 14.724426°		 ← 109 m → N 69.092100°
W 14.721680°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
N 69.091120°
W 14.724426°		 ← 109 m →
11 882 m²		 N 69.091120°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459102630615234 y=0.231021881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459102630615234 × 217)
    floor (0.459102630615234 × 131072)
    floor (60175.5)     		tx = 60175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231021881103516 × 217)
    floor (0.231021881103516 × 131072)
    floor (30280.5)     		ty = 30280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60175 / 30280 ti = "17/60175/30280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60175/30280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60175 ÷ 217
    60175 ÷ 131072     		x = 0.459098815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30280 ÷ 217
    30280 ÷ 131072     		y = 0.23101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459098815917969 × 2 - 1) × π
    -0.0818023681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25698972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23101806640625 × 2 - 1) × π
    0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25698972} λ = -0.25698972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6900633330047))-π/2
    2×atan(5.41982394799736)-π/2
    2×1.38834047741361-π/2
    2.77668095482722-1.57079632675     		φ = 1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25698972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.724426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60175 KachelY 30280 -0.25698972 1.20588463 -14.724426 69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 60176 KachelY 30280 -0.25694178 1.20588463 -14.721680 69.092100
    Unten links KachelX 60175 KachelY + 1 30281 -0.25698972 1.20586752 -14.724426 69.091120
    Unten rechts KachelX + 1 60176 KachelY + 1 30281 -0.25694178 1.20586752 -14.721680 69.091120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20588463-1.20586752) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20588463-1.20586752) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25698972--0.25694178) × cos(1.20588463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 108.99630859813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25698972--0.25694178) × cos(1.20586752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356882790307853 × 6371000     		du = 109.001190322969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20588463)-sin(1.20586752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.356882790307853)×R²
    abs(-0.25694178--0.25698972)×1.59833445568247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59833445568247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59833445568247e-05×40589641000000     		ar = 11881.7149717705m²