Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60173 / 84209
↖ ↑ ↗
← S 45.554449°
W 14.729919°		 ← 213.82 m → S 45.554449°
W 14.727173°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 45.556372°
W 14.729919°		 ← 213.82 m →
45 717 m²		 S 45.556372°
W 14.727173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459087371826172 y=0.642467498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459087371826172 × 217)
    floor (0.459087371826172 × 131072)
    floor (60173.5)     		tx = 60173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642467498779297 × 217)
    floor (0.642467498779297 × 131072)
    floor (84209.5)     		ty = 84209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60173 / 84209 ti = "17/60173/84209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60173/84209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60173 ÷ 217
    60173 ÷ 131072     		x = 0.459083557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84209 ÷ 217
    84209 ÷ 131072     		y = 0.642463684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459083557128906 × 2 - 1) × π
    -0.0818328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25708559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642463684082031 × 2 - 1) × π
    -0.284927368164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.895125726605309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25708559} λ = -0.25708559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895125726605309))-π/2
    2×atan(0.4085562290239)-π/2
    2×0.387860605547369-π/2
    0.775721211094739-1.57079632675     		φ = -0.79507512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25708559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.729919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79507512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.554449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60173 KachelY 84209 -0.25708559 -0.79507512 -14.729919 -45.554449
    Oben rechts KachelX + 1 60174 KachelY 84209 -0.25703766 -0.79507512 -14.727173 -45.554449
    Unten links KachelX 60173 KachelY + 1 84210 -0.25708559 -0.79510868 -14.729919 -45.556372
    Unten rechts KachelX + 1 60174 KachelY + 1 84210 -0.25703766 -0.79510868 -14.727173 -45.556372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79507512--0.79510868) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79507512--0.79510868) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25708559--0.25703766) × cos(-0.79507512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.700231138631229 × 6371000     		do = 213.824001961527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25708559--0.25703766) × cos(-0.79510868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.700207179208956 × 6371000     		du = 213.816685663704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79507512)-sin(-0.79510868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700231138631229-0.700207179208956)×R²
    abs(-0.25703766--0.25708559)×2.39594222724016e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39594222724016e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39594222724016e-05×40589641000000     		ar = 45717.0902181562m²