Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60172 / 30260
↖ ↑ ↗
← N 69.111694°
W 14.732666°		 ← 108.90 m → N 69.111694°
W 14.729919°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.110715°
W 14.732666°		 ← 108.90 m →
11 864 m²		 N 69.110715°
W 14.729919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459079742431641 y=0.230869293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459079742431641 × 217)
    floor (0.459079742431641 × 131072)
    floor (60172.5)     		tx = 60172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230869293212891 × 217)
    floor (0.230869293212891 × 131072)
    floor (30260.5)     		ty = 30260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60172 / 30260 ti = "17/60172/30260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60172/30260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60172 ÷ 217
    60172 ÷ 131072     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30260 ÷ 217
    30260 ÷ 131072     		y = 0.230865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230865478515625 × 2 - 1) × π
    0.53826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6910220709971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6910220709971))-π/2
    2×atan(5.42502263081759)-π/2
    2×1.38851147171064-π/2
    2.77702294342128-1.57079632675     		φ = 1.20622662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20622662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.111694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60172 KachelY 30260 -0.25713353 1.20622662 -14.732666 69.111694
    Oben rechts KachelX + 1 60173 KachelY 30260 -0.25708559 1.20622662 -14.729919 69.111694
    Unten links KachelX 60172 KachelY + 1 30261 -0.25713353 1.20620952 -14.732666 69.110715
    Unten rechts KachelX + 1 60173 KachelY + 1 30261 -0.25708559 1.20620952 -14.729919 69.110715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20622662-1.20620952) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20622662-1.20620952) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25708559) × cos(1.20622662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35654731433718 × 6371000     		do = 108.8987273265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25708559) × cos(1.20620952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356563290426325 × 6371000     		du = 108.90360683535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20622662)-sin(1.20620952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35654731433718-0.356563290426325)×R²
    abs(-0.25708559--0.25713353)×1.59760891451644e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59760891451644e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59760891451644e-05×40589641000000     		ar = 11864.1396366965m²