Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60171 / 84237
↖ ↑ ↗
← S 45.608274°
W 14.735413°		 ← 213.66 m → S 45.608274°
W 14.732666°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
S 45.610195°
W 14.735413°		 ← 213.66 m →
45 642 m²		 S 45.610195°
W 14.732666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459072113037109 y=0.642681121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459072113037109 × 217)
    floor (0.459072113037109 × 131072)
    floor (60171.5)     		tx = 60171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642681121826172 × 217)
    floor (0.642681121826172 × 131072)
    floor (84237.5)     		ty = 84237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60171 / 84237 ti = "17/60171/84237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60171/84237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60171 ÷ 217
    60171 ÷ 131072     		x = 0.459068298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84237 ÷ 217
    84237 ÷ 131072     		y = 0.642677307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459068298339844 × 2 - 1) × π
    -0.0818634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25718147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642677307128906 × 2 - 1) × π
    -0.285354614257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.89646795979467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25718147} λ = -0.25718147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89646795979467))-π/2
    2×atan(0.408008219154375)-π/2
    2×0.387390893961832-π/2
    0.774781787923663-1.57079632675     		φ = -0.79601454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25718147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.735413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79601454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.608274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60171 KachelY 84237 -0.25718147 -0.79601454 -14.735413 -45.608274
    Oben rechts KachelX + 1 60172 KachelY 84237 -0.25713353 -0.79601454 -14.732666 -45.608274
    Unten links KachelX 60171 KachelY + 1 84238 -0.25718147 -0.79604807 -14.735413 -45.610195
    Unten rechts KachelX + 1 60172 KachelY + 1 84238 -0.25713353 -0.79604807 -14.732666 -45.610195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79601454--0.79604807) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dl = 213.619629999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79601454--0.79604807) × R
    3.35299999999483e-05 × 6371000     		dr = 213.619629999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25718147--0.25713353) × cos(-0.79601454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699560162585015 × 6371000     		do = 213.663680332156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25718147--0.25713353) × cos(-0.79604807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699536202535469 × 6371000     		du = 213.656362316293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79601454)-sin(-0.79604807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699560162585015-0.699536202535469)×R²
    abs(-0.25713353--0.25718147)×2.3960049545857e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3960049545857e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3960049545857e-05×40589641000000     		ar = 45641.9747052723m²