Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60170 / 84232
↖ ↑ ↗
← S 45.598666°
W 14.738159°		 ← 213.66 m → S 45.598666°
W 14.735413°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.600587°
W 14.738159°		 ← 213.65 m →
45 654 m²		 S 45.600587°
W 14.735413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459064483642578 y=0.642642974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459064483642578 × 217)
    floor (0.459064483642578 × 131072)
    floor (60170.5)     		tx = 60170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642642974853516 × 217)
    floor (0.642642974853516 × 131072)
    floor (84232.5)     		ty = 84232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60170 / 84232 ti = "17/60170/84232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60170/84232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60170 ÷ 217
    60170 ÷ 131072     		x = 0.459060668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84232 ÷ 217
    84232 ÷ 131072     		y = 0.64263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459060668945312 × 2 - 1) × π
    -0.081878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25722940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25722940} λ = -0.25722940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89622827529657))-π/2
    2×atan(0.408106024120303)-π/2
    2×0.387474738004639-π/2
    0.774949476009278-1.57079632675     		φ = -0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25722940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.738159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60170 KachelY 84232 -0.25722940 -0.79584685 -14.738159 -45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 60171 KachelY 84232 -0.25718147 -0.79584685 -14.735413 -45.598666
    Unten links KachelX 60170 KachelY + 1 84233 -0.25722940 -0.79588039 -14.738159 -45.600587
    Unten rechts KachelX + 1 60171 KachelY + 1 84233 -0.25718147 -0.79588039 -14.735413 -45.600587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79584685--0.79588039) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79584685--0.79588039) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25722940--0.25718147) × cos(-0.79584685) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 213.65569892491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25722940--0.25718147) × cos(-0.79588039) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699656016352444 × 6371000     		du = 213.648381454979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79584685)-sin(-0.79588039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.699656016352444)×R²
    abs(-0.25718147--0.25722940)×2.39632606959805e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39632606959805e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39632606959805e-05×40589641000000     		ar = 45653.8815499883m²