Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60166 / 83474
↖ ↑ ↗
← S 44.123085°
W 14.749145°		 ← 219.25 m → S 44.123085°
W 14.746399°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 44.125057°
W 14.749145°		 ← 219.24 m →
48 064 m²		 S 44.125057°
W 14.746399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459033966064453 y=0.636859893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459033966064453 × 217)
    floor (0.459033966064453 × 131072)
    floor (60166.5)     		tx = 60166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636859893798828 × 217)
    floor (0.636859893798828 × 131072)
    floor (83474.5)     		ty = 83474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60166 / 83474 ti = "17/60166/83474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60166/83474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60166 ÷ 217
    60166 ÷ 131072     		x = 0.459030151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83474 ÷ 217
    83474 ÷ 131072     		y = 0.636856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25742115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.273712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859892105384567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25742115} λ = -0.25742115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859892105384567))-π/2
    2×atan(0.423207741691042)-π/2
    2×0.400351609645752-π/2
    0.800703219291504-1.57079632675     		φ = -0.77009311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25742115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.749145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77009311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.123085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60166 KachelY 83474 -0.25742115 -0.77009311 -14.749145 -44.123085
    Oben rechts KachelX + 1 60167 KachelY 83474 -0.25737321 -0.77009311 -14.746399 -44.123085
    Unten links KachelX 60166 KachelY + 1 83475 -0.25742115 -0.77012752 -14.749145 -44.125057
    Unten rechts KachelX + 1 60167 KachelY + 1 83475 -0.25737321 -0.77012752 -14.746399 -44.125057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77009311--0.77012752) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dl = 219.226109999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77009311--0.77012752) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dr = 219.226109999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25742115--0.25737321) × cos(-0.77009311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717845849347015 × 6371000     		do = 219.248599742597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25742115--0.25737321) × cos(-0.77012752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717821892608456 × 6371000     		du = 219.241282737994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77009311)-sin(-0.77012752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717845849347015-0.717821892608456)×R²
    abs(-0.25737321--0.25742115)×2.3956738559372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3956738559372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3956738559372e-05×40589641000000     		ar = 48064.2156098457m²