Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60166 / 34119
↖ ↑ ↗
← N 64.989812°
W 14.749145°		 ← 129.13 m → N 64.989812°
W 14.746399°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 64.988651°
W 14.749145°		 ← 129.13 m →
16 676 m²		 N 64.988651°
W 14.746399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459033966064453 y=0.260311126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459033966064453 × 217)
    floor (0.459033966064453 × 131072)
    floor (60166.5)     		tx = 60166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260311126708984 × 217)
    floor (0.260311126708984 × 131072)
    floor (34119.5)     		ty = 34119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60166 / 34119 ti = "17/60166/34119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60166/34119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60166 ÷ 217
    60166 ÷ 131072     		x = 0.459030151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34119 ÷ 217
    34119 ÷ 131072     		y = 0.260307312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25742115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260307312011719 × 2 - 1) × π
    0.479385375976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.5060335753633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25742115} λ = -0.25742115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5060335753633))-π/2
    2×atan(4.50881141918656)-π/2
    2×1.35254126363437-π/2
    2.70508252726874-1.57079632675     		φ = 1.13428620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25742115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.749145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13428620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.989812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60166 KachelY 34119 -0.25742115 1.13428620 -14.749145 64.989812
    Oben rechts KachelX + 1 60167 KachelY 34119 -0.25737321 1.13428620 -14.746399 64.989812
    Unten links KachelX 60166 KachelY + 1 34120 -0.25742115 1.13426593 -14.749145 64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 60167 KachelY + 1 34120 -0.25737321 1.13426593 -14.746399 64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13428620-1.13426593) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13428620-1.13426593) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25742115--0.25737321) × cos(1.13428620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422779409086974 × 6371000     		do = 129.127713877067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25742115--0.25737321) × cos(1.13426593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 129.133324318371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13428620)-sin(1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422779409086974-0.422797778335434)×R²
    abs(-0.25737321--0.25742115)×1.83692484603815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83692484603815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83692484603815e-05×40589641000000     		ar = 16675.9371890203m²