Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60165 / 30288
↖ ↑ ↗
← N 69.084257°
W 14.751892°		 ← 109.04 m → N 69.084257°
W 14.749145°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
N 69.083276°
W 14.751892°		 ← 109.04 m →
11 893 m²		 N 69.083276°
W 14.749145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459026336669922 y=0.231082916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459026336669922 × 217)
    floor (0.459026336669922 × 131072)
    floor (60165.5)     		tx = 60165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231082916259766 × 217)
    floor (0.231082916259766 × 131072)
    floor (30288.5)     		ty = 30288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60165 / 30288 ti = "17/60165/30288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60165/30288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60165 ÷ 217
    60165 ÷ 131072     		x = 0.459022521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30288 ÷ 217
    30288 ÷ 131072     		y = 0.2310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459022521972656 × 2 - 1) × π
    -0.0819549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25746909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2310791015625 × 2 - 1) × π
    0.537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68967983780774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25746909} λ = -0.25746909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68967983780774))-π/2
    2×atan(5.41774587003686)-π/2
    2×1.38827203680177-π/2
    2.77654407360354-1.57079632675     		φ = 1.20574775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25746909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.751892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20574775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.084257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60165 KachelY 30288 -0.25746909 1.20574775 -14.751892 69.084257
    Oben rechts KachelX + 1 60166 KachelY 30288 -0.25742115 1.20574775 -14.749145 69.084257
    Unten links KachelX 60165 KachelY + 1 30289 -0.25746909 1.20573063 -14.751892 69.083276
    Unten rechts KachelX + 1 60166 KachelY + 1 30289 -0.25742115 1.20573063 -14.749145 69.083276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20574775-1.20573063) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20574775-1.20573063) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25746909--0.25742115) × cos(1.20574775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3569946707941 × 6371000     		do = 109.035361503399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25746909--0.25742115) × cos(1.20573063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357010662643704 × 6371000     		du = 109.040245825898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20574775)-sin(1.20573063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3569946707941-0.357010662643704)×R²
    abs(-0.25742115--0.25746909)×1.59918496035472e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59918496035472e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59918496035472e-05×40589641000000     		ar = 11892.9189836355m²