Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60164 / 84234
↖ ↑ ↗
← S 45.602509°
W 14.754638°		 ← 213.64 m → S 45.602509°
W 14.751892°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.604431°
W 14.754638°		 ← 213.63 m →
45 651 m²		 S 45.604431°
W 14.751892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459018707275391 y=0.642658233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459018707275391 × 217)
    floor (0.459018707275391 × 131072)
    floor (60164.5)     		tx = 60164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642658233642578 × 217)
    floor (0.642658233642578 × 131072)
    floor (84234.5)     		ty = 84234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60164 / 84234 ti = "17/60164/84234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60164/84234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60164 ÷ 217
    60164 ÷ 131072     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84234 ÷ 217
    84234 ÷ 131072     		y = 0.642654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642654418945312 × 2 - 1) × π
    -0.285308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89632414909581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89632414909581))-π/2
    2×atan(0.408066899320829)-π/2
    2×0.387441198664438-π/2
    0.774882397328877-1.57079632675     		φ = -0.79591393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79591393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.602509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60164 KachelY 84234 -0.25751702 -0.79591393 -14.754638 -45.602509
    Oben rechts KachelX + 1 60165 KachelY 84234 -0.25746909 -0.79591393 -14.751892 -45.602509
    Unten links KachelX 60164 KachelY + 1 84235 -0.25751702 -0.79594747 -14.754638 -45.604431
    Unten rechts KachelX + 1 60165 KachelY + 1 84235 -0.25746909 -0.79594747 -14.751892 -45.604431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79591393--0.79594747) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79591393--0.79594747) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25746909) × cos(-0.79591393) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699632052304683 × 6371000     		do = 213.641063744707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25746909) × cos(-0.79594747) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699608087469883 × 6371000     		du = 213.633745794104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79591393)-sin(-0.79594747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699632052304683-0.699608087469883)×R²
    abs(-0.25746909--0.25751702)×2.39648347992727e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39648347992727e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39648347992727e-05×40589641000000     		ar = 45650.7542043961m²