Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60162 / 27388
↖ ↑ ↗
← N 71.749872°
W 14.760132°		 ← 95.65 m → N 71.749872°
W 14.757385°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
N 71.749012°
W 14.760132°		 ← 95.65 m →
9 147 m²		 N 71.749012°
W 14.757385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459003448486328 y=0.208957672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459003448486328 × 217)
    floor (0.459003448486328 × 131072)
    floor (60162.5)     		tx = 60162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208957672119141 × 217)
    floor (0.208957672119141 × 131072)
    floor (27388.5)     		ty = 27388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60162 / 27388 ti = "17/60162/27388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60162/27388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60162 ÷ 217
    60162 ÷ 131072     		x = 0.458999633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27388 ÷ 217
    27388 ÷ 131072     		y = 0.208953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458999633789062 × 2 - 1) × π
    -0.082000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25761290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208953857421875 × 2 - 1) × π
    0.58209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8286968467059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25761290} λ = -0.25761290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8286968467059))-π/2
    2×atan(6.22576823951177)-π/2
    2×1.41153392055686-π/2
    2.82306784111373-1.57079632675     		φ = 1.25227151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25761290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.760132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25227151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.749872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60162 KachelY 27388 -0.25761290 1.25227151 -14.760132 71.749872
    Oben rechts KachelX + 1 60163 KachelY 27388 -0.25756496 1.25227151 -14.757385 71.749872
    Unten links KachelX 60162 KachelY + 1 27389 -0.25761290 1.25225650 -14.760132 71.749012
    Unten rechts KachelX + 1 60163 KachelY + 1 27389 -0.25756496 1.25225650 -14.757385 71.749012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25227151-1.25225650) × R
    1.50099999998154e-05 × 6371000     		dl = 95.6287099988242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25227151-1.25225650) × R
    1.50099999998154e-05 × 6371000     		dr = 95.6287099988242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25761290--0.25756496) × cos(1.25227151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313165922703168 × 6371000     		do = 95.6489336843352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25761290--0.25756496) × cos(1.25225650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313180177641299 × 6371000     		du = 95.6532875093625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25227151)-sin(1.25225650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313165922703168-0.313180177641299)×R²
    abs(-0.25756496--0.25761290)×1.42549381310086e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42549381310086e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42549381310086e-05×40589641000000     		ar = 9146.99231636065m²