Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60161 / 54534
↖ ↑ ↗
← N 28.907206°
W 14.762879°		 ← 267.37 m → N 28.907206°
W 14.760132°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.904802°
W 14.762879°		 ← 267.38 m →
71 476 m²		 N 28.904802°
W 14.760132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458995819091797 y=0.416065216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458995819091797 × 217)
    floor (0.458995819091797 × 131072)
    floor (60161.5)     		tx = 60161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416065216064453 × 217)
    floor (0.416065216064453 × 131072)
    floor (54534.5)     		ty = 54534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60161 / 54534 ti = "17/60161/54534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60161/54534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60161 ÷ 217
    60161 ÷ 131072     		x = 0.458992004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54534 ÷ 217
    54534 ÷ 131072     		y = 0.416061401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458992004394531 × 2 - 1) × π
    -0.0820159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25766084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416061401367188 × 2 - 1) × π
    0.167877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.527401769619858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25766084} λ = -0.25766084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527401769619858))-π/2
    2×atan(1.69452382069419)-π/2
    2×1.03766112518314-π/2
    2.07532225036629-1.57079632675     		φ = 0.50452592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25766084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.762879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50452592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.907206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60161 KachelY 54534 -0.25766084 0.50452592 -14.762879 28.907206
    Oben rechts KachelX + 1 60162 KachelY 54534 -0.25761290 0.50452592 -14.760132 28.907206
    Unten links KachelX 60161 KachelY + 1 54535 -0.25766084 0.50448396 -14.762879 28.904802
    Unten rechts KachelX + 1 60162 KachelY + 1 54535 -0.25761290 0.50448396 -14.760132 28.904802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50452592-0.50448396) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50452592-0.50448396) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25766084--0.25761290) × cos(0.50452592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875403739500381 × 6371000     		do = 267.370834935805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25766084--0.25761290) × cos(0.50448396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875424021878336 × 6371000     		du = 267.377029696101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50452592)-sin(0.50448396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875403739500381-0.875424021878336)×R²
    abs(-0.25761290--0.25766084)×2.02823779553718e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02823779553718e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02823779553718e-05×40589641000000     		ar = 71476.3139944851m²