Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60160 / 83626
↖ ↑ ↗
← S 44.422011°
W 14.765625°		 ← 218.09 m → S 44.422011°
W 14.762879°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
S 44.423973°
W 14.765625°		 ← 218.08 m →
47 560 m²		 S 44.423973°
W 14.762879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458988189697266 y=0.638019561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458988189697266 × 217)
    floor (0.458988189697266 × 131072)
    floor (60160.5)     		tx = 60160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638019561767578 × 217)
    floor (0.638019561767578 × 131072)
    floor (83626.5)     		ty = 83626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60160 / 83626 ti = "17/60160/83626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60160/83626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60160 ÷ 217
    60160 ÷ 131072     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83626 ÷ 217
    83626 ÷ 131072     		y = 0.638015747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638015747070312 × 2 - 1) × π
    -0.276031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.867178514126816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867178514126816))-π/2
    2×atan(0.420135284285946)-π/2
    2×0.397742984510498-π/2
    0.795485969020996-1.57079632675     		φ = -0.77531036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77531036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.422011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60160 KachelY 83626 -0.25770877 -0.77531036 -14.765625 -44.422011
    Oben rechts KachelX + 1 60161 KachelY 83626 -0.25766084 -0.77531036 -14.762879 -44.422011
    Unten links KachelX 60160 KachelY + 1 83627 -0.25770877 -0.77534459 -14.765625 -44.423973
    Unten rechts KachelX + 1 60161 KachelY + 1 83627 -0.25766084 -0.77534459 -14.762879 -44.423973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77531036--0.77534459) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77531036--0.77534459) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25766084) × cos(-0.77531036) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.714203835770567 × 6371000     		do = 218.090733124568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25766084) × cos(-0.77534459) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.714179876482313 × 6371000     		du = 218.083416867669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77531036)-sin(-0.77534459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714203835770567-0.714179876482313)×R²
    abs(-0.25766084--0.25770877)×2.39592882541606e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39592882541606e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39592882541606e-05×40589641000000     		ar = 47560.2832013971m²