Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60160 / 27393
↖ ↑ ↗
← N 71.745571°
W 14.765625°		 ← 95.65 m → N 71.745571°
W 14.762879°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
N 71.744711°
W 14.765625°		 ← 95.66 m →
9 147 m²		 N 71.744711°
W 14.762879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458988189697266 y=0.208995819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458988189697266 × 217)
    floor (0.458988189697266 × 131072)
    floor (60160.5)     		tx = 60160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208995819091797 × 217)
    floor (0.208995819091797 × 131072)
    floor (27393.5)     		ty = 27393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60160 / 27393 ti = "17/60160/27393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60160/27393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60160 ÷ 217
    60160 ÷ 131072     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27393 ÷ 217
    27393 ÷ 131072     		y = 0.208992004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208992004394531 × 2 - 1) × π
    0.582015991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.8284571622078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8284571622078))-π/2
    2×atan(6.22427619819272)-π/2
    2×1.41149638577707-π/2
    2.82299277155413-1.57079632675     		φ = 1.25219644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25219644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.745571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60160 KachelY 27393 -0.25770877 1.25219644 -14.765625 71.745571
    Oben rechts KachelX + 1 60161 KachelY 27393 -0.25766084 1.25219644 -14.762879 71.745571
    Unten links KachelX 60160 KachelY + 1 27394 -0.25770877 1.25218143 -14.765625 71.744711
    Unten rechts KachelX + 1 60161 KachelY + 1 27394 -0.25766084 1.25218143 -14.762879 71.744711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25219644-1.25218143) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25219644-1.25218143) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25766084) × cos(1.25219644) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.313237215681695 × 6371000     		do = 95.650752052058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25766084) × cos(1.25218143) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		du = 95.6551048611338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25219644)-sin(1.25218143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313237215681695-0.313251470266903)×R²
    abs(-0.25766084--0.25770877)×1.42545852074849e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.42545852074849e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.42545852074849e-05×40589641000000     		ar = 9147.16615624796m²