Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60159 / 27392
↖ ↑ ↗
← N 71.746432°
W 14.768372°		 ← 95.67 m → N 71.746432°
W 14.765625°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
N 71.745571°
W 14.768372°		 ← 95.67 m →
9 155 m²		 N 71.745571°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458980560302734 y=0.208988189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458980560302734 × 217)
    floor (0.458980560302734 × 131072)
    floor (60159.5)     		tx = 60159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208988189697266 × 217)
    floor (0.208988189697266 × 131072)
    floor (27392.5)     		ty = 27392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60159 / 27392 ti = "17/60159/27392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60159/27392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60159 ÷ 217
    60159 ÷ 131072     		x = 0.458976745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27392 ÷ 217
    27392 ÷ 131072     		y = 0.208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458976745605469 × 2 - 1) × π
    -0.0820465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25775671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208984375 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25775671} λ = -0.25775671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82850509910742))-π/2
    2×atan(6.22457457784768)-π/2
    2×1.41150389341655-π/2
    2.8230077868331-1.57079632675     		φ = 1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25775671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.768372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60159 KachelY 27392 -0.25775671 1.25221146 -14.768372 71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 60160 KachelY 27392 -0.25770877 1.25221146 -14.765625 71.746432
    Unten links KachelX 60159 KachelY + 1 27393 -0.25775671 1.25219644 -14.768372 71.745571
    Unten rechts KachelX + 1 60160 KachelY + 1 27393 -0.25770877 1.25219644 -14.765625 71.745571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25221146-1.25219644) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25221146-1.25219644) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25775671--0.25770877) × cos(1.25221146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 95.6663517558134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25775671--0.25770877) × cos(1.25219644) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.313237215681695 × 6371000     		du = 95.6707083951694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25221146)-sin(1.25219644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.313237215681695)×R²
    abs(-0.25770877--0.25775671)×1.42641525759934e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42641525759934e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42641525759934e-05×40589641000000     		ar = 9154.75316082953m²