Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60157 / 84271
↖ ↑ ↗
← S 45.673563°
W 14.773865°		 ← 213.37 m → S 45.673563°
W 14.771118°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
S 45.675482°
W 14.773865°		 ← 213.36 m →
45 525 m²		 S 45.675482°
W 14.771118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458965301513672 y=0.642940521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458965301513672 × 217)
    floor (0.458965301513672 × 131072)
    floor (60157.5)     		tx = 60157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642940521240234 × 217)
    floor (0.642940521240234 × 131072)
    floor (84271.5)     		ty = 84271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60157 / 84271 ti = "17/60157/84271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60157/84271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60157 ÷ 217
    60157 ÷ 131072     		x = 0.458961486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84271 ÷ 217
    84271 ÷ 131072     		y = 0.642936706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458961486816406 × 2 - 1) × π
    -0.0820770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25785258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642936706542969 × 2 - 1) × π
    -0.285873413085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.898097814381752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25785258} λ = -0.25785258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898097814381752))-π/2
    2×atan(0.407343766714337)-π/2
    2×0.386821135264109-π/2
    0.773642270528218-1.57079632675     		φ = -0.79715406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25785258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.773865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79715406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.673563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60157 KachelY 84271 -0.25785258 -0.79715406 -14.773865 -45.673563
    Oben rechts KachelX + 1 60158 KachelY 84271 -0.25780465 -0.79715406 -14.771118 -45.673563
    Unten links KachelX 60157 KachelY + 1 84272 -0.25785258 -0.79718755 -14.773865 -45.675482
    Unten rechts KachelX + 1 60158 KachelY + 1 84272 -0.25780465 -0.79718755 -14.771118 -45.675482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79715406--0.79718755) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79715406--0.79718755) × R
    3.34899999999694e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25785258--0.25780465) × cos(-0.79715406) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69874543754225 × 6371000     		do = 213.370325261023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25785258--0.25780465) × cos(-0.79718755) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.698721479395608 × 6371000     		du = 213.36300935273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79715406)-sin(-0.79718755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69874543754225-0.698721479395608)×R²
    abs(-0.25780465--0.25785258)×2.39581466421335e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39581466421335e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39581466421335e-05×40589641000000     		ar = 45524.9341672518m²