Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60157 / 84231
↖ ↑ ↗
← S 45.596744°
W 14.773865°		 ← 213.66 m → S 45.596744°
W 14.771118°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.598666°
W 14.773865°		 ← 213.66 m →
45 655 m²		 S 45.598666°
W 14.771118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458965301513672 y=0.642635345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458965301513672 × 217)
    floor (0.458965301513672 × 131072)
    floor (60157.5)     		tx = 60157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642635345458984 × 217)
    floor (0.642635345458984 × 131072)
    floor (84231.5)     		ty = 84231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60157 / 84231 ti = "17/60157/84231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60157/84231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60157 ÷ 217
    60157 ÷ 131072     		x = 0.458961486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84231 ÷ 217
    84231 ÷ 131072     		y = 0.642631530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458961486816406 × 2 - 1) × π
    -0.0820770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25785258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642631530761719 × 2 - 1) × π
    -0.285263061523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.89618033839695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25785258} λ = -0.25785258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89618033839695))-π/2
    2×atan(0.408125587926725)-π/2
    2×0.387491508536281-π/2
    0.774983017072561-1.57079632675     		φ = -0.79581331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25785258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.773865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79581331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.596744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60157 KachelY 84231 -0.25785258 -0.79581331 -14.773865 -45.596744
    Oben rechts KachelX + 1 60158 KachelY 84231 -0.25780465 -0.79581331 -14.771118 -45.596744
    Unten links KachelX 60157 KachelY + 1 84232 -0.25785258 -0.79584685 -14.773865 -45.598666
    Unten rechts KachelX + 1 60158 KachelY + 1 84232 -0.25780465 -0.79584685 -14.771118 -45.598666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79581331--0.79584685) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79581331--0.79584685) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25785258--0.25780465) × cos(-0.79581331) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.699703942086743 × 6371000     		do = 213.663016154494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25785258--0.25780465) × cos(-0.79584685) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		du = 213.65569892491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79581331)-sin(-0.79584685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699703942086743-0.69967997961314)×R²
    abs(-0.25780465--0.25785258)×2.39624736037003e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39624736037003e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39624736037003e-05×40589641000000     		ar = 45655.4451456761m²