Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60156 / 84267
↖ ↑ ↗
← S 45.665886°
W 14.776611°		 ← 213.44 m → S 45.665886°
W 14.773865°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
S 45.667805°
W 14.776611°		 ← 213.44 m →
45 554 m²		 S 45.667805°
W 14.773865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458957672119141 y=0.642910003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458957672119141 × 217)
    floor (0.458957672119141 × 131072)
    floor (60156.5)     		tx = 60156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642910003662109 × 217)
    floor (0.642910003662109 × 131072)
    floor (84267.5)     		ty = 84267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60156 / 84267 ti = "17/60156/84267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60156/84267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60156 ÷ 217
    60156 ÷ 131072     		x = 0.458953857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84267 ÷ 217
    84267 ÷ 131072     		y = 0.642906188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.08209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25790052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642906188964844 × 2 - 1) × π
    -0.285812377929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.897906066783272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25790052} λ = -0.25790052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897906066783272))-π/2
    2×atan(0.407421881392272)-π/2
    2×0.386888131238796-π/2
    0.773776262477592-1.57079632675     		φ = -0.79702006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25790052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.776611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79702006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.665886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60156 KachelY 84267 -0.25790052 -0.79702006 -14.776611 -45.665886
    Oben rechts KachelX + 1 60157 KachelY 84267 -0.25785258 -0.79702006 -14.773865 -45.665886
    Unten links KachelX 60156 KachelY + 1 84268 -0.25790052 -0.79705356 -14.776611 -45.667805
    Unten rechts KachelX + 1 60157 KachelY + 1 84268 -0.25785258 -0.79705356 -14.773865 -45.667805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79702006--0.79705356) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79702006--0.79705356) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25790052--0.25785258) × cos(-0.79702006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698841290902631 × 6371000     		do = 213.444118416599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25790052--0.25785258) × cos(-0.79705356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698817328738881 × 6371000     		du = 213.436799755003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79702006)-sin(-0.79705356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698841290902631-0.698817328738881)×R²
    abs(-0.25785258--0.25790052)×2.39621637504461e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39621637504461e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39621637504461e-05×40589641000000     		ar = 45554.2770262302m²