Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60151 / 40467
↖ ↑ ↗
← N 56.530714°
W 14.790344°		 ← 168.40 m → N 56.530714°
W 14.787598°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.529199°
W 14.790344°		 ← 168.41 m →
28 368 m²		 N 56.529199°
W 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458919525146484 y=0.308742523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458919525146484 × 217)
    floor (0.458919525146484 × 131072)
    floor (60151.5)     		tx = 60151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308742523193359 × 217)
    floor (0.308742523193359 × 131072)
    floor (40467.5)     		ty = 40467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60151 / 40467 ti = "17/60151/40467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60151/40467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60151 ÷ 217
    60151 ÷ 131072     		x = 0.458915710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40467 ÷ 217
    40467 ÷ 131072     		y = 0.308738708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458915710449219 × 2 - 1) × π
    -0.0821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25814020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308738708496094 × 2 - 1) × π
    0.382522583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20173013657519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25814020} λ = -0.25814020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20173013657519))-π/2
    2×atan(3.32586615049896)-π/2
    2×1.27872170626601-π/2
    2.55744341253202-1.57079632675     		φ = 0.98664709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25814020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.790344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98664709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.530714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60151 KachelY 40467 -0.25814020 0.98664709 -14.790344 56.530714
    Oben rechts KachelX + 1 60152 KachelY 40467 -0.25809227 0.98664709 -14.787598 56.530714
    Unten links KachelX 60151 KachelY + 1 40468 -0.25814020 0.98662065 -14.790344 56.529199
    Unten rechts KachelX + 1 60152 KachelY + 1 40468 -0.25809227 0.98662065 -14.787598 56.529199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98664709-0.98662065) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dl = 168.449239999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98664709-0.98662065) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dr = 168.449239999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25814020--0.25809227) × cos(0.98664709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551489891009068 × 6371000     		do = 168.404072642916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25814020--0.25809227) × cos(0.98662065) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551511946577143 × 6371000     		du = 168.410807575956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98664709)-sin(0.98662065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551489891009068-0.551511946577143)×R²
    abs(-0.25809227--0.25814020)×2.20555680751078e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20555680751078e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20555680751078e-05×40589641000000     		ar = 28368.1052983384m²