Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60150 / 30272
↖ ↑ ↗
← N 69.099940°
W 14.793091°		 ← 108.96 m → N 69.099940°
W 14.790344°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.098960°
W 14.793091°		 ← 108.96 m →
11 871 m²		 N 69.098960°
W 14.790344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458911895751953 y=0.230960845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458911895751953 × 217)
    floor (0.458911895751953 × 131072)
    floor (60150.5)     		tx = 60150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230960845947266 × 217)
    floor (0.230960845947266 × 131072)
    floor (30272.5)     		ty = 30272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60150 / 30272 ti = "17/60150/30272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60150/30272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60150 ÷ 217
    60150 ÷ 131072     		x = 0.458908081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30272 ÷ 217
    30272 ÷ 131072     		y = 0.23095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458908081054688 × 2 - 1) × π
    -0.082183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25818814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25818814} λ = -0.25818814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69044682820166))-π/2
    2×atan(5.42190282304361)-π/2
    2×1.3884088935114-π/2
    2.7768177870228-1.57079632675     		φ = 1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25818814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.793091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60150 KachelY 30272 -0.25818814 1.20602146 -14.793091 69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 60151 KachelY 30272 -0.25814020 1.20602146 -14.790344 69.099940
    Unten links KachelX 60150 KachelY + 1 30273 -0.25818814 1.20600436 -14.793091 69.098960
    Unten rechts KachelX + 1 60151 KachelY + 1 30273 -0.25814020 1.20600436 -14.790344 69.098960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20602146-1.20600436) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20602146-1.20600436) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25818814--0.25814020) × cos(1.20602146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 108.957267917444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25818814--0.25814020) × cos(1.20600436) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356754957994322 × 6371000     		du = 108.962147044139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20602146)-sin(1.20600436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356754957994322)×R²
    abs(-0.25814020--0.25818814)×1.59748379287561e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59748379287561e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59748379287561e-05×40589641000000     		ar = 11870.5172679295m²