Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60148 / 30268
↖ ↑ ↗
← N 69.103859°
W 14.798584°		 ← 108.94 m → N 69.103859°
W 14.795838°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.102879°
W 14.798584°		 ← 108.94 m →
11 868 m²		 N 69.102879°
W 14.795838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458896636962891 y=0.230930328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458896636962891 × 217)
    floor (0.458896636962891 × 131072)
    floor (60148.5)     		tx = 60148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230930328369141 × 217)
    floor (0.230930328369141 × 131072)
    floor (30268.5)     		ty = 30268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60148 / 30268 ti = "17/60148/30268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60148/30268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60148 ÷ 217
    60148 ÷ 131072     		x = 0.458892822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30268 ÷ 217
    30268 ÷ 131072     		y = 0.230926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    0.53814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69063857580014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25828402} λ = -0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69063857580014))-π/2
    2×atan(5.42294255956943)-π/2
    2×1.38844309236987-π/2
    2.77688618473973-1.57079632675     		φ = 1.20608986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20608986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.103859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60148 KachelY 30268 -0.25828402 1.20608986 -14.798584 69.103859
    Oben rechts KachelX + 1 60149 KachelY 30268 -0.25823608 1.20608986 -14.795838 69.103859
    Unten links KachelX 60148 KachelY + 1 30269 -0.25828402 1.20607276 -14.798584 69.102879
    Unten rechts KachelX + 1 60149 KachelY + 1 30269 -0.25823608 1.20607276 -14.795838 69.102879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20608986-1.20607276) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20608986-1.20607276) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25828402--0.25823608) × cos(1.20608986) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356675082761584 × 6371000     		do = 108.937751092073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25828402--0.25823608) × cos(1.20607276) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356691058016741 × 6371000     		du = 108.942630346201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20608986)-sin(1.20607276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356675082761584-0.356691058016741)×R²
    abs(-0.25823608--0.25828402)×1.5975255156897e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5975255156897e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5975255156897e-05×40589641000000     		ar = 11868.3910321622m²