Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60146 / 30269
↖ ↑ ↗
← N 69.102879°
W 14.804077°		 ← 108.94 m → N 69.102879°
W 14.801330°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.101899°
W 14.804077°		 ← 108.95 m →
11 869 m²		 N 69.101899°
W 14.801330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458881378173828 y=0.230937957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458881378173828 × 217)
    floor (0.458881378173828 × 131072)
    floor (60146.5)     		tx = 60146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230937957763672 × 217)
    floor (0.230937957763672 × 131072)
    floor (30269.5)     		ty = 30269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60146 / 30269 ti = "17/60146/30269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60146/30269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60146 ÷ 217
    60146 ÷ 131072     		x = 0.458877563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30269 ÷ 217
    30269 ÷ 131072     		y = 0.230934143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458877563476562 × 2 - 1) × π
    -0.082244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25837989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230934143066406 × 2 - 1) × π
    0.538131713867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.69059063890052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25837989} λ = -0.25837989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69059063890052))-π/2
    2×atan(5.42268260674702)-π/2
    2×1.38843454322957-π/2
    2.77686908645914-1.57079632675     		φ = 1.20607276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25837989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.804077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20607276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.102879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60146 KachelY 30269 -0.25837989 1.20607276 -14.804077 69.102879
    Oben rechts KachelX + 1 60147 KachelY 30269 -0.25833195 1.20607276 -14.801330 69.102879
    Unten links KachelX 60146 KachelY + 1 30270 -0.25837989 1.20605566 -14.804077 69.101899
    Unten rechts KachelX + 1 60147 KachelY + 1 30270 -0.25833195 1.20605566 -14.801330 69.101899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20607276-1.20605566) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20607276-1.20605566) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25837989--0.25833195) × cos(1.20607276) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356691058016741 × 6371000     		do = 108.942630346201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25837989--0.25833195) × cos(1.20605566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356707033167598 × 6371000     		du = 108.947509568473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20607276)-sin(1.20605566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356691058016741-0.356707033167598)×R²
    abs(-0.25833195--0.25837989)×1.59751508568839e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59751508568839e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59751508568839e-05×40589641000000     		ar = 11868.9225960729m²