Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60145 / 30189
↖ ↑ ↗
← N 69.181113°
W 14.806824°		 ← 108.55 m → N 69.181113°
W 14.804077°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.180137°
W 14.806824°		 ← 108.56 m →
11 778 m²		 N 69.180137°
W 14.804077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458873748779297 y=0.230327606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458873748779297 × 217)
    floor (0.458873748779297 × 131072)
    floor (60145.5)     		tx = 60145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230327606201172 × 217)
    floor (0.230327606201172 × 131072)
    floor (30189.5)     		ty = 30189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60145 / 30189 ti = "17/60145/30189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60145/30189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60145 ÷ 217
    60145 ÷ 131072     		x = 0.458869934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30189 ÷ 217
    30189 ÷ 131072     		y = 0.230323791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458869934082031 × 2 - 1) × π
    -0.0822601318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25842783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230323791503906 × 2 - 1) × π
    0.539352416992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.69442559087012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25842783} λ = -0.25842783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69442559087012))-π/2
    2×atan(5.44351826042027)-π/2
    2×1.38911726583047-π/2
    2.77823453166093-1.57079632675     		φ = 1.20743820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25842783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.806824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20743820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.181113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60145 KachelY 30189 -0.25842783 1.20743820 -14.806824 69.181113
    Oben rechts KachelX + 1 60146 KachelY 30189 -0.25837989 1.20743820 -14.804077 69.181113
    Unten links KachelX 60145 KachelY + 1 30190 -0.25842783 1.20742117 -14.806824 69.180137
    Unten rechts KachelX + 1 60146 KachelY + 1 30190 -0.25837989 1.20742117 -14.804077 69.180137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20743820-1.20742117) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20743820-1.20742117) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25842783--0.25837989) × cos(1.20743820) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355415101269791 × 6371000     		do = 108.552920312555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25842783--0.25837989) × cos(1.20742117) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355431019305152 × 6371000     		du = 108.557782090285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20743820)-sin(1.20742117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355415101269791-0.355431019305152)×R²
    abs(-0.25837989--0.25842783)×1.59180353614397e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59180353614397e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59180353614397e-05×40589641000000     		ar = 11778.0526072197m²