Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60144 / 30271
↖ ↑ ↗
← N 69.100919°
W 14.809570°		 ← 108.93 m → N 69.100919°
W 14.806824°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.099940°
W 14.809570°		 ← 108.93 m →
11 868 m²		 N 69.099940°
W 14.806824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458866119384766 y=0.230953216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458866119384766 × 217)
    floor (0.458866119384766 × 131072)
    floor (60144.5)     		tx = 60144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230953216552734 × 217)
    floor (0.230953216552734 × 131072)
    floor (30271.5)     		ty = 30271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60144 / 30271 ti = "17/60144/30271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60144/30271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60144 ÷ 217
    60144 ÷ 131072     		x = 0.4588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30271 ÷ 217
    30271 ÷ 131072     		y = 0.230949401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230949401855469 × 2 - 1) × π
    0.538101196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.69049476510128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25847576} λ = -0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69049476510128))-π/2
    2×atan(5.42216273848471)-π/2
    2×1.38841744380035-π/2
    2.7768348876007-1.57079632675     		φ = 1.20603856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20603856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.100919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60144 KachelY 30271 -0.25847576 1.20603856 -14.809570 69.100919
    Oben rechts KachelX + 1 60145 KachelY 30271 -0.25842783 1.20603856 -14.806824 69.100919
    Unten links KachelX 60144 KachelY + 1 30272 -0.25847576 1.20602146 -14.809570 69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 60145 KachelY + 1 30272 -0.25842783 1.20602146 -14.806824 69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20603856-1.20602146) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20603856-1.20602146) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25847576--0.25842783) × cos(1.20603856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35672300821415 × 6371000     		do = 108.92966193592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25847576--0.25842783) × cos(1.20602146) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 108.934540076713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20603856)-sin(1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35672300821415-0.356738983156393)×R²
    abs(-0.25842783--0.25847576)×1.59749422428135e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59749422428135e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59749422428135e-05×40589641000000     		ar = 11867.5097056747m²