Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60143 / 30192
↖ ↑ ↗
← N 69.178184°
W 14.812317°		 ← 108.57 m → N 69.178184°
W 14.809570°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
N 69.177208°
W 14.812317°		 ← 108.57 m →
11 787 m²		 N 69.177208°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458858489990234 y=0.230350494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458858489990234 × 217)
    floor (0.458858489990234 × 131072)
    floor (60143.5)     		tx = 60143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230350494384766 × 217)
    floor (0.230350494384766 × 131072)
    floor (30192.5)     		ty = 30192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60143 / 30192 ti = "17/60143/30192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60143/30192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60143 ÷ 217
    60143 ÷ 131072     		x = 0.458854675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30192 ÷ 217
    30192 ÷ 131072     		y = 0.2303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458854675292969 × 2 - 1) × π
    -0.0822906494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25852370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2303466796875 × 2 - 1) × π
    0.539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69428178017126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25852370} λ = -0.25852370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69428178017126))-π/2
    2×atan(5.44273548054239)-π/2
    2×1.38909170786603-π/2
    2.77818341573206-1.57079632675     		φ = 1.20738709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25852370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.812317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20738709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.178184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60143 KachelY 30192 -0.25852370 1.20738709 -14.812317 69.178184
    Oben rechts KachelX + 1 60144 KachelY 30192 -0.25847576 1.20738709 -14.809570 69.178184
    Unten links KachelX 60143 KachelY + 1 30193 -0.25852370 1.20737005 -14.812317 69.177208
    Unten rechts KachelX + 1 60144 KachelY + 1 30193 -0.25847576 1.20737005 -14.809570 69.177208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20738709-1.20737005) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dl = 108.561840000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20738709-1.20737005) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dr = 108.561840000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25852370--0.25847576) × cos(1.20738709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355462873760431 × 6371000     		do = 108.567511260861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25852370--0.25847576) × cos(1.20737005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355478800833254 × 6371000     		du = 108.572375798864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20738709)-sin(1.20737005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355462873760431-0.355478800833254)×R²
    abs(-0.25847576--0.25852370)×1.59270728228855e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59270728228855e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59270728228855e-05×40589641000000     		ar = 11786.5528385723m²