Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60141 / 85590
↖ ↑ ↗
← S 48.147763°
W 14.817810°		 ← 203.74 m → S 48.147763°
W 14.815064°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
S 48.149596°
W 14.817810°		 ← 203.73 m →
41 523 m²		 S 48.149596°
W 14.815064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458843231201172 y=0.653003692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458843231201172 × 217)
    floor (0.458843231201172 × 131072)
    floor (60141.5)     		tx = 60141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653003692626953 × 217)
    floor (0.653003692626953 × 131072)
    floor (85590.5)     		ty = 85590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60141 / 85590 ti = "17/60141/85590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60141/85590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60141 ÷ 217
    60141 ÷ 131072     		x = 0.458839416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85590 ÷ 217
    85590 ÷ 131072     		y = 0.652999877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458839416503906 × 2 - 1) × π
    -0.0823211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25861957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652999877929688 × 2 - 1) × π
    -0.305999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.961326584980606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25861957} λ = -0.25861957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961326584980606))-π/2
    2×atan(0.38238528278722)-π/2
    2×0.365229666013581-π/2
    0.730459332027163-1.57079632675     		φ = -0.84033699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25861957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.817810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84033699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.147763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60141 KachelY 85590 -0.25861957 -0.84033699 -14.817810 -48.147763
    Oben rechts KachelX + 1 60142 KachelY 85590 -0.25857164 -0.84033699 -14.815064 -48.147763
    Unten links KachelX 60141 KachelY + 1 85591 -0.25861957 -0.84036898 -14.817810 -48.149596
    Unten rechts KachelX + 1 60142 KachelY + 1 85591 -0.25857164 -0.84036898 -14.815064 -48.149596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84033699--0.84036898) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dl = 203.808290000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84033699--0.84036898) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dr = 203.808290000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25861957--0.25857164) × cos(-0.84033699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667211850661765 × 6371000     		do = 203.741165158258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25861957--0.25857164) × cos(-0.84036898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667188021992859 × 6371000     		du = 203.733888787549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84033699)-sin(-0.84036898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667211850661765-0.667188021992859)×R²
    abs(-0.25857164--0.25861957)×2.38286689063782e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38286689063782e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38286689063782e-05×40589641000000     		ar = 41523.3969847776m²