Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60140 / 83627
↖ ↑ ↗
← S 44.423973°
W 14.820557°		 ← 218.13 m → S 44.423973°
W 14.817810°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 44.425934°
W 14.820557°		 ← 218.12 m →
47 583 m²		 S 44.425934°
W 14.817810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458835601806641 y=0.638027191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458835601806641 × 217)
    floor (0.458835601806641 × 131072)
    floor (60140.5)     		tx = 60140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638027191162109 × 217)
    floor (0.638027191162109 × 131072)
    floor (83627.5)     		ty = 83627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60140 / 83627 ti = "17/60140/83627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60140/83627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60140 ÷ 217
    60140 ÷ 131072     		x = 0.458831787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83627 ÷ 217
    83627 ÷ 131072     		y = 0.638023376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25866751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638023376464844 × 2 - 1) × π
    -0.276046752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.867226451026436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25866751} λ = -0.25866751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867226451026436))-π/2
    2×atan(0.420115144785713)-π/2
    2×0.397725866438854-π/2
    0.795451732877708-1.57079632675     		φ = -0.77534459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25866751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.820557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77534459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.423973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60140 KachelY 83627 -0.25866751 -0.77534459 -14.820557 -44.423973
    Oben rechts KachelX + 1 60141 KachelY 83627 -0.25861957 -0.77534459 -14.817810 -44.423973
    Unten links KachelX 60140 KachelY + 1 83628 -0.25866751 -0.77537883 -14.820557 -44.425934
    Unten rechts KachelX + 1 60141 KachelY + 1 83628 -0.25861957 -0.77537883 -14.817810 -44.425934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77534459--0.77537883) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77534459--0.77537883) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25866751--0.25861957) × cos(-0.77534459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714179876482313 × 6371000     		do = 218.128917267576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25866751--0.25861957) × cos(-0.77537883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.714155909357393 × 6371000     		du = 218.121597090712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77534459)-sin(-0.77537883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714179876482313-0.714155909357393)×R²
    abs(-0.25861957--0.25866751)×2.39671249202544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39671249202544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39671249202544e-05×40589641000000     		ar = 47582.506706466m²