Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60140 / 59581
↖ ↑ ↗
← S 81.252526°
E150.358887°		 ← 92.90 m → S 81.252526°
E150.364380°		 →
↑
92.89 m
↓
↑
92.89 m
↓
S 81.253362°
E150.358887°		 ← 92.89 m →
8 629 m²		 S 81.253362°
E150.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917671203613281 y=0.909141540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917671203613281 × 216)
    floor (0.917671203613281 × 65536)
    floor (60140.5)     		tx = 60140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909141540527344 × 216)
    floor (0.909141540527344 × 65536)
    floor (59581.5)     		ty = 59581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60140 / 59581 ti = "16/60140/59581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60140/59581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60140 ÷ 216
    60140 ÷ 65536     		x = 0.91766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59581 ÷ 216
    59581 ÷ 65536     		y = 0.909133911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91766357421875 × 2 - 1) × π
    0.8353271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62425763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909133911132812 × 2 - 1) × π
    -0.818267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57066417902513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62425763} λ = 2.62425763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57066417902513))-π/2
    2×atan(0.0764847289974343)-π/2
    2×0.0763361072811357-π/2
    0.152672214562271-1.57079632675     		φ = -1.41812411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62425763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41812411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.252526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60140 KachelY 59581 2.62425763 -1.41812411 150.358887 -81.252526
    Oben rechts KachelX + 1 60141 KachelY 59581 2.62435351 -1.41812411 150.364380 -81.252526
    Unten links KachelX 60140 KachelY + 1 59582 2.62425763 -1.41813869 150.358887 -81.253362
    Unten rechts KachelX + 1 60141 KachelY + 1 59582 2.62435351 -1.41813869 150.364380 -81.253362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41812411--1.41813869) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dl = 92.8891799999125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41812411--1.41813869) × R
    1.45799999999863e-05 × 6371000     		dr = 92.8891799999125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62425763-2.62435351) × cos(-1.41812411) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.15207980646051 × 6371000     		do = 92.8981748548853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62425763-2.62435351) × cos(-1.41813869) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152065396035741 × 6371000     		du = 92.8893722255881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41812411)-sin(-1.41813869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15207980646051-0.152065396035741)×R²
    abs(2.62435351-2.62425763)×1.44104247682963e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.44104247682963e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.44104247682963e-05×40589641000000     		ar = 8628.82645135957m²