Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6014 / 6777
↖ ↑ ↗
← N 29.668962°
W 47.856445°		 ← 2 122.96 m → N 29.668962°
W 47.834472°		 →
↑
2 123.14 m
↓
↑
2 123.14 m
↓
N 29.649869°
W 47.856445°		 ← 2 123.37 m →
4 507 769 m²		 N 29.649869°
W 47.834472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367095947265625 y=0.413665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367095947265625 × 214)
    floor (0.367095947265625 × 16384)
    floor (6014.5)     		tx = 6014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413665771484375 × 214)
    floor (0.413665771484375 × 16384)
    floor (6777.5)     		ty = 6777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6014 / 6777 ti = "14/6014/6777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6014/6777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6014 ÷ 214
    6014 ÷ 16384     		x = 0.3670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6777 ÷ 214
    6777 ÷ 16384     		y = 0.41363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41363525390625 × 2 - 1) × π
    0.1727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.542645703699036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83525254} λ = -0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542645703699036))-π/2
    2×atan(1.7205529189956)-π/2
    2×1.0443087042554-π/2
    2.0886174085108-1.57079632675     		φ = 0.51782108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51782108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.668962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6014 KachelY 6777 -0.83525254 0.51782108 -47.856445 29.668962
    Oben rechts KachelX + 1 6015 KachelY 6777 -0.83486904 0.51782108 -47.834472 29.668962
    Unten links KachelX 6014 KachelY + 1 6778 -0.83525254 0.51748783 -47.856445 29.649869
    Unten rechts KachelX + 1 6015 KachelY + 1 6778 -0.83486904 0.51748783 -47.834472 29.649869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51782108-0.51748783) × R
    0.000333250000000063 × 6371000     		dl = 2123.1357500004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51782108-0.51748783) × R
    0.000333250000000063 × 6371000     		dr = 2123.1357500004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83525254--0.83486904) × cos(0.51782108) × R
    0.000383500000000092 × 0.868899780822477 × 6371000     		do = 2122.96415313878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83525254--0.83486904) × cos(0.51748783) × R
    0.000383500000000092 × 0.869064687339429 × 6371000     		du = 2123.36706568616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51782108)-sin(0.51748783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868899780822477-0.869064687339429)×R²
    abs(-0.83486904--0.83525254)×0.000164906516951557×R²
    0.000383500000000092×0.000164906516951557×6371000²
    0.000383500000000092×0.000164906516951557×40589641000000     		ar = 4507768.85023269m²