Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60139 / 83655
↖ ↑ ↗
← S 44.478871°
W 14.823303°		 ← 217.92 m → S 44.478871°
W 14.820557°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.480830°
W 14.823303°		 ← 217.92 m →
47 482 m²		 S 44.480830°
W 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458827972412109 y=0.638240814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458827972412109 × 217)
    floor (0.458827972412109 × 131072)
    floor (60139.5)     		tx = 60139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638240814208984 × 217)
    floor (0.638240814208984 × 131072)
    floor (83655.5)     		ty = 83655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60139 / 83655 ti = "17/60139/83655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60139/83655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60139 ÷ 217
    60139 ÷ 131072     		x = 0.458824157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83655 ÷ 217
    83655 ÷ 131072     		y = 0.638236999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458824157714844 × 2 - 1) × π
    -0.0823516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25871545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638236999511719 × 2 - 1) × π
    -0.276473999023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.868568684215797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25871545} λ = -0.25871545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868568684215797))-π/2
    2×atan(0.419551630563376)-π/2
    2×0.397246793630043-π/2
    0.794493587260087-1.57079632675     		φ = -0.77630274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25871545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.823303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77630274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.478871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60139 KachelY 83655 -0.25871545 -0.77630274 -14.823303 -44.478871
    Oben rechts KachelX + 1 60140 KachelY 83655 -0.25866751 -0.77630274 -14.820557 -44.478871
    Unten links KachelX 60139 KachelY + 1 83656 -0.25871545 -0.77633694 -14.823303 -44.480830
    Unten rechts KachelX + 1 60140 KachelY + 1 83656 -0.25866751 -0.77633694 -14.820557 -44.480830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77630274--0.77633694) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77630274--0.77633694) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25871545--0.25866751) × cos(-0.77630274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713508879960633 × 6371000     		do = 217.923977658657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25871545--0.25866751) × cos(-0.77633694) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713484917443796 × 6371000     		du = 217.91665888922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77630274)-sin(-0.77633694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713508879960633-0.713484917443796)×R²
    abs(-0.25866751--0.25871545)×2.39625168371171e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39625168371171e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39625168371171e-05×40589641000000     		ar = 47482.2658968083m²