Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60138 / 41823
↖ ↑ ↗
← N 54.420528°
W 14.826050°		 ← 177.67 m → N 54.420528°
W 14.823303°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
N 54.418930°
W 14.826050°		 ← 177.68 m →
31 581 m²		 N 54.418930°
W 14.823303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458820343017578 y=0.319087982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458820343017578 × 217)
    floor (0.458820343017578 × 131072)
    floor (60138.5)     		tx = 60138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319087982177734 × 217)
    floor (0.319087982177734 × 131072)
    floor (41823.5)     		ty = 41823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60138 / 41823 ti = "17/60138/41823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60138/41823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60138 ÷ 217
    60138 ÷ 131072     		x = 0.458816528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41823 ÷ 217
    41823 ÷ 131072     		y = 0.319084167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.082366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25876338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319084167480469 × 2 - 1) × π
    0.361831665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.13672770069039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25876338} λ = -0.25876338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13672770069039))-π/2
    2×atan(3.11655336560662)-π/2
    2×1.26030686094433-π/2
    2.52061372188865-1.57079632675     		φ = 0.94981740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25876338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.826050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94981740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.420528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60138 KachelY 41823 -0.25876338 0.94981740 -14.826050 54.420528
    Oben rechts KachelX + 1 60139 KachelY 41823 -0.25871545 0.94981740 -14.823303 54.420528
    Unten links KachelX 60138 KachelY + 1 41824 -0.25876338 0.94978950 -14.826050 54.418930
    Unten rechts KachelX + 1 60139 KachelY + 1 41824 -0.25871545 0.94978950 -14.823303 54.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94981740-0.94978950) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dl = 177.750900000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94981740-0.94978950) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dr = 177.750900000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25876338--0.25871545) × cos(0.94981740) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581831609436773 × 6371000     		do = 177.669281375683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25876338--0.25871545) × cos(0.94978950) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.581854300539116 × 6371000     		du = 177.676210376757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94981740)-sin(0.94978950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581831609436773-0.581854300539116)×R²
    abs(-0.25871545--0.25876338)×2.26911023428755e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26911023428755e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26911023428755e-05×40589641000000     		ar = 31581.4904873087m²