Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60138 / 34386
↖ ↑ ↗
← N 64.677969°
W 14.826050°		 ← 130.61 m → N 64.677969°
W 14.823303°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 64.676794°
W 14.826050°		 ← 130.61 m →
17 066 m²		 N 64.676794°
W 14.823303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458820343017578 y=0.262348175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458820343017578 × 217)
    floor (0.458820343017578 × 131072)
    floor (60138.5)     		tx = 60138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262348175048828 × 217)
    floor (0.262348175048828 × 131072)
    floor (34386.5)     		ty = 34386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60138 / 34386 ti = "17/60138/34386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60138/34386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60138 ÷ 217
    60138 ÷ 131072     		x = 0.458816528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34386 ÷ 217
    34386 ÷ 131072     		y = 0.262344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.082366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25876338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262344360351562 × 2 - 1) × π
    0.475311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49323442316475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25876338} λ = -0.25876338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49323442316475))-π/2
    2×atan(4.45147019790002)-π/2
    2×1.34981991599663-π/2
    2.69963983199326-1.57079632675     		φ = 1.12884351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25876338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.826050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12884351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.677969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60138 KachelY 34386 -0.25876338 1.12884351 -14.826050 64.677969
    Oben rechts KachelX + 1 60139 KachelY 34386 -0.25871545 1.12884351 -14.823303 64.677969
    Unten links KachelX 60138 KachelY + 1 34387 -0.25876338 1.12882300 -14.826050 64.676794
    Unten rechts KachelX + 1 60139 KachelY + 1 34387 -0.25871545 1.12882300 -14.823303 64.676794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12884351-1.12882300) × R
    2.05100000001401e-05 × 6371000     		dl = 130.669210000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12884351-1.12882300) × R
    2.05100000001401e-05 × 6371000     		dr = 130.669210000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25876338--0.25871545) × cos(1.12884351) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.427705466027772 × 6371000     		do = 130.605009348265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25876338--0.25871545) × cos(1.12882300) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.427724005299209 × 6371000     		du = 130.610670537826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12884351)-sin(1.12882300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427705466027772-0.427724005299209)×R²
    abs(-0.25871545--0.25876338)×1.85392714370236e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.85392714370236e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.85392714370236e-05×40589641000000     		ar = 17066.4232658474m²