Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60136 / 84250
↖ ↑ ↗
← S 45.633246°
W 14.831543°		 ← 213.57 m → S 45.633246°
W 14.828796°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.635166°
W 14.831543°		 ← 213.56 m →
45 608 m²		 S 45.635166°
W 14.828796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458805084228516 y=0.642780303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458805084228516 × 217)
    floor (0.458805084228516 × 131072)
    floor (60136.5)     		tx = 60136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642780303955078 × 217)
    floor (0.642780303955078 × 131072)
    floor (84250.5)     		ty = 84250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60136 / 84250 ti = "17/60136/84250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60136/84250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60136 ÷ 217
    60136 ÷ 131072     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84250 ÷ 217
    84250 ÷ 131072     		y = 0.642776489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642776489257812 × 2 - 1) × π
    -0.285552978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.897091139489731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897091139489731))-π/2
    2×atan(0.407754035925919)-π/2
    2×0.387172966650054-π/2
    0.774345933300108-1.57079632675     		φ = -0.79645039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79645039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.633246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60136 KachelY 84250 -0.25885926 -0.79645039 -14.831543 -45.633246
    Oben rechts KachelX + 1 60137 KachelY 84250 -0.25881132 -0.79645039 -14.828796 -45.633246
    Unten links KachelX 60136 KachelY + 1 84251 -0.25885926 -0.79648391 -14.831543 -45.635166
    Unten rechts KachelX + 1 60137 KachelY + 1 84251 -0.25881132 -0.79648391 -14.828796 -45.635166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79645039--0.79648391) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79645039--0.79648391) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25881132) × cos(-0.79645039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699248649199792 × 6371000     		do = 213.568536125707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25881132) × cos(-0.79648391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69922468607831 × 6371000     		du = 213.561217171595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79645039)-sin(-0.79648391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699248649199792-0.69922468607831)×R²
    abs(-0.25881132--0.25885926)×2.39631214824509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39631214824509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39631214824509e-05×40589641000000     		ar = 45608.0437167153m²