Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60136 / 83657
↖ ↑ ↗
← S 44.482790°
W 14.831543°		 ← 217.91 m → S 44.482790°
W 14.828796°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.484749°
W 14.831543°		 ← 217.90 m →
47 479 m²		 S 44.484749°
W 14.828796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458805084228516 y=0.638256072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458805084228516 × 217)
    floor (0.458805084228516 × 131072)
    floor (60136.5)     		tx = 60136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638256072998047 × 217)
    floor (0.638256072998047 × 131072)
    floor (83657.5)     		ty = 83657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60136 / 83657 ti = "17/60136/83657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60136/83657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60136 ÷ 217
    60136 ÷ 131072     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83657 ÷ 217
    83657 ÷ 131072     		y = 0.638252258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638252258300781 × 2 - 1) × π
    -0.276504516601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.868664558015038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868664558015038))-π/2
    2×atan(0.419511408482729)-π/2
    2×0.397212591375255-π/2
    0.79442518275051-1.57079632675     		φ = -0.77637114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77637114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.482790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60136 KachelY 83657 -0.25885926 -0.77637114 -14.831543 -44.482790
    Oben rechts KachelX + 1 60137 KachelY 83657 -0.25881132 -0.77637114 -14.828796 -44.482790
    Unten links KachelX 60136 KachelY + 1 83658 -0.25885926 -0.77640534 -14.831543 -44.484749
    Unten rechts KachelX + 1 60137 KachelY + 1 83658 -0.25881132 -0.77640534 -14.828796 -44.484749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77637114--0.77640534) × R
    3.42000000000953e-05 × 6371000     		dl = 217.888200000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77637114--0.77640534) × R
    3.42000000000953e-05 × 6371000     		dr = 217.888200000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25881132) × cos(-0.77637114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713460954092438 × 6371000     		do = 217.909339864646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25881132) × cos(-0.77640534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713436989906588 × 6371000     		du = 217.902020585449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77637114)-sin(-0.77640534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713460954092438-0.713436989906588)×R²
    abs(-0.25881132--0.25885926)×2.39641858502671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39641858502671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39641858502671e-05×40589641000000     		ar = 47479.0764387577m²